Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 11
11. (a) Mostre que os vetores
Formam uma base ortogonal de com produto interno euclidiano.
(b) Use o Teorema 6.3.2b para expressar como uma combinação linear dos vetores da parte (a).
Passo 1
(a) Primeiro para ser ortogonal o produto interno dos vetores deve ser igual a zero:
Então é ortogonal.
Passo 2
(b) Pra aplicar o Teorema 6.3.2b, os vetores deveriam ser ortonormal, maaaas dando uma olhada por aldo, a norma dos vetores é diferente de um, então não são ortonormal. Temos que usar a parte a do teorema.
Calculando a norma de cada vetor:
Passo 3
Usando o teorema, então:
(a) Vamos começar calculando os produtos internos:
Então:
Resposta
(b)
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13. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordnadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 2,0 , 5 , u → 1 = 2 3 , 1 3 , 2 3 , u
8. Verifique que o conjunto de vetores 1,0 , 0,1 é ortogonal com o produto interno u → , v → = 4 u 1 v 1 + u 2 v 2 de R 2 e converta-o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores.
12. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordenadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 3,7 ,u → 1 = 1 2 , - 1 2 , u → 2 = 1
9. Verifique que os vetores: v → 1 = - 3 5 , 4 5 , 0 , v → 2 = 4 5 , 3 5 , 0 , v → 3 = 0,0 , 1 Formam uma base ortonormal de R 3 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema
10. Verifique que os vetores: v → 1 = 1 , - 1,2 , - 1 , v → 2 = - 2,2 , 3,2 , v → 3 = 1,2 , 0 . - 1 , v → 4 = 1,0 , 0,1 Formam uma base ortonormal de R 4 com o produto interno euclidiano. Depois, em c