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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 10

10. Verifique que os vetores:

v → 1 = 1 , - 1,2 , - 1 , v → 2 = - 2,2 , 3,2 , v → 3 = 1,2 , 0 . - 1 , v → 4 = 1,0 , 0,1

Formam uma base ortonormal de R 4 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema 6.3.2b para expressar o vetor dado como uma combinação linear de v → 1 , v → 2 , v → 3 e v → 4 .

(a) 1,1 , 1,1

(b) 2 , - 3 2 , 5 2 , - 2

(c) - 1 3 , 2 3 , - 1 3 , 4 3

Passo 1

Primeiro para ser ortogonal o produto interno dos vetores deve ser igual a zero:

v → 1 ⋅ v → 2 = 1 - 2 + - 1 2 + 2 3 + - 1 2

v → 1 ⋅ v → 2 = 0

v → 1 ⋅ v → 3 = 1 1 + - 1 2 + 2 0 + - 1 - 1

v → 1 ⋅ v → 3 = 0

v → 1 ⋅ v → 4 = 1 1 + - 1 0 + 2 0 + - 1 1

v → 1 ⋅ v → 4 = 0

v → 2 ⋅ v → 3 = - 2 1 + 2 2 + 3 0 + 2 - 1

v → 2 ⋅ v → 3 = 0

v → 2 ⋅ v → 4 = - 2 1 + 2 0 + 3 0 + 2 1

v → 2 ⋅ v → 4 = 0

v → 3 ⋅ v → 4 = 1 1 + 2 0 + 0 0 + - 1 1

v → 3 ⋅ v → 4 = 0

Então é ortogonal.

Passo 2

E pra ser ortonormal se dividirmos o vetor pela norma, o vetor, e der o mesmo vetor, então é ortonormal. Em outras palavras, a norma de cada vetor tem que ser um...

Calculando a norma de cada vetor:

v → 1 = 1 2 + - 1 2 + 2 2 + ( - 1 2 )

v → 1 = 7

v → 2 = 2 2 + 2 2 + 3 2 + 2 2

v → 2 = 21

v → 3 = 1 2 + 2 2 + 0 2 + - 1 2

v → 3 = 6

v → 4 = 1 2 + 0 2 + 0 2 + 1 2

v → 4 = 2

Então não é ortonormal.

Passo 3

Usando o teorema, então: (mas tem que ser o (a), e não o (b) que ele fala no enunciado rs)

u → = u → ⋅ v → 1 v → 1 v → 1 + u → ⋅ v → 2 v → 2 v → 2 + u → ⋅ v → 3 v → 3 v → 3 + u → ⋅ v → 4 v → 4 v → 4

(a) Vamos começar calculando os produtos internos:

u → ⋅ v → 1 = 1 1 + 1 - 1 + 1 2 + 1 - 1

u → ⋅ v → 1 = 1

u → ⋅ v → 2 = 1 - 2 + 1 2 + 1 3 + 1 2

u → ⋅ v → 2 = 5

u → ⋅ v → 3 = 1 1 + 1 2 + 1 0 + 1 - 1

u → ⋅ v → 3 = 2

u → ⋅ v → 4 = 1 1 + 1 0 + 1 0 + 1 1

u → ⋅ v → 4 = 2

Então:

u → = 1 7 2 v → 1 + 5 21 2 v → 2 + 2 6 2 v → 3 + 2 2 2 v → 4

u → = 1 7 v → 1 + 5 21 v → 2 + 1 3 v → 3 + v → 4

Passo 4

(b) Vamos começar calculando os produtos internos:

u → ⋅ v → 1 = 2 1 + - 3 2 - 1 + 5 2 2 + - 2 - 1

u → ⋅ v → 1 = 15 2

u → ⋅ v → 2 = 2 - 2 + - 3 2 1 2 + 5 2 3 + - 2 2

u → ⋅ v → 2 = 5 2

u → ⋅ v → 3 = 2 1 + - 3 2 2 + 5 2 0 + - 2 - 1

u → ⋅ v → 3 = - 4 2

u → ⋅ v → 4 = 2 1 + - 3 2 0 + 5 2 0 + - 2 1

u → ⋅ v → 4 = 0

Então:

u → = 15 2 7 2 v → 1 + 5 2 21 2 v → 2 + - 4 2 6 2 v → 3 + 0 2 2 v → 4

u → = 15 2 7 v → 1 + 5 2 21 v → 2 - 2 2 3 v → 3

Passo 5

(c) Vamos começar calculando os produtos internos: - 1 3 , 2 3 , - 1 3 , 4 3

u → ⋅ v → 1 = - 1 3 1 + 2 3 - 1 + - 1 3 2 + 4 3 - 1

u → ⋅ v → 1 = - 3

u → ⋅ v → 2 = - 1 3 - 2 + 2 3 2 + - 1 3 3 + 4 3 2

u → ⋅ v → 2 = 11 3

u → ⋅ v → 3 = - 1 3 1 + 2 3 2 + - 1 3 0 + 4 3 - 1

u → ⋅ v → 3 = - 1 3

u → ⋅ v → 4 = - 1 3 1 + 2 3 0 + - 1 3 0 + 4 3 1

u → ⋅ v → 4 = 1

Então:

u → = - 3 7 2 v → 1 + 11 3 21 2 v → 2 + - 1 3 6 2 v → 3 + 1 2 2 v → 4

u → = - 3 7 v → 1 + 11 63 v → 2 - 1 18 v → 3 + v → 4

Resposta

(a) u → = 1 7 v → 1 + 5 21 v → 2 + 1 3 v → 3 + v → 4

(b) u → = 15 2 7 v → 1 + 5 2 21 v → 2 - 2 2 3 v → 3

(c) u → = - 3 7 v → 1 + 11 63 v → 2 - 1 18 v → 3 + v → 4

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