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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 9

9. Verifique que os vetores:

v → 1 = - 3 5 , 4 5 , 0 , v → 2 = 4 5 , 3 5 , 0 , v → 3 = 0,0 , 1

Formam uma base ortonormal de R 3 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema 6.3.2b para expressar o vetor dado como uma combinação linear de v → 1 , v → 2 e v → 3 .

(a) 1 , - 1,2

(b) 3 , - 7,4

(c) 1 7 , - 3 7 , 5 7

Passo 1

Primeiro para ser ortogonal o produto interno dos vetores deve ser igual a zero:

v → 1 ⋅ v → 2 = - 3 5 4 5 + 4 5 3 5 + 0 0

v → 1 ⋅ v → 2 = 0

v → 1 ⋅ v → 3 = - 3 5 0 + 4 5 0 + 0 1

v → 1 ⋅ v → 3 = 0

v → 2 ⋅ v → 3 = 4 5 0 + 3 5 0 + 0 1

v → 2 ⋅ v → 3 = 0

Então é ortogonal.

Passo 2

E pra ser ortonormal se dividirmos o vetor pela norma, o vetor, e der o mesmo vetor, então é ortonormal. Em outras palavras, a norma de cada vetor tem que ser um...

Calculando a norma de cada vetor:

v → 1 = - 3 5 2 + 4 5 2 + 0 2

v → 1 = 1

v → 2 = 4 5 2 + 3 5 2 + 0 2

v → 2 = 1

v → 3 = 0 2 + 0 2 + 1 2

v → 3 = 1

Então é ortonormal.

Passo 3

Usando o teorema, então:

u → = u → ⋅ v → 1 v → 1 + u → ⋅ v → 2 v → 2 + u → ⋅ v → 3 v → 3

(a) Vamos começar calculando os produtos internos:

u → ⋅ v → 1 = 1 - 3 5 + - 1 4 5 + 2 0

u → ⋅ v → 1 = - 7 5

u → ⋅ v → 2 = 1 4 5 + - 1 3 5 + 2 0

u → ⋅ v → 2 = 1 5

u → ⋅ v → 3 = 1 0 + - 1 0 + 2 1

u → ⋅ v → 3 = 2

Então:

u → = - 7 5 v → 1 + 1 5 v → 2 + 2 v → 3

Passo 4

(b) Vamos começar calculando os produtos internos:

u → ⋅ v → 1 = 3 - 3 5 + - 7 4 5 + 4 0

u → ⋅ v → 1 = - 37 5

u → ⋅ v → 2 = 3 4 5 + - 7 3 5 + 4 0

u → ⋅ v → 2 = - 9 5

u → ⋅ v → 3 = 3 0 + - 7 0 + 4 1

u → ⋅ v → 3 = 4

Então:

u → = - 37 5 v → 1 - 9 5 v → 2 + 4 v → 3

Passo 5

(c) Vamos começar calculando os produtos internos:

u → ⋅ v → 1 = 1 7 - 3 5 + - 3 7 4 5 + 5 7 0

u → ⋅ v → 1 = - 3 7

u → ⋅ v → 2 = 1 7 4 5 + - 3 7 3 5 + 5 7 0

u → ⋅ v → 2 = - 1 7

u → ⋅ v → 3 = 1 7 0 + - 3 7 0 + 5 7 1

u → ⋅ v → 3 = 5 7

Então:

u → = - 3 7 v → 1 - 1 7 v → 2 + 5 7 v → 3

Resposta

(a) u → = - 7 5 v → 1 + 1 5 v → 2 + 2 v → 3

(b) u → = - 37 5 v → 1 - 9 5 v → 2 + 4 v → 3

(c) u → = - 3 7 v → 1 - 1 7 v → 2 + 5 7 v → 3

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