Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 16
16. Em cada parte, encontre uma base do complemento ortogonal do subespaço de gerado pelos vetores dados.
(a) , ,
(b) ,
(c) , ,
(d) , , ,
Passo 1
(a) Vamos primeiro representar um vetor qualquer: e fazer que o produto interno dele com cada um dos vetores seja zero:
Agora vamos resolver o sisteminha:
Como não tem nada muito óbvio, então vamos escalonar:
Fazendo a (linha 2)=(linha 2)-5(linha 1) e (linha 3)=(linha 3)-7(linha 1):
Fazendo a (linha 3)=(linha 3)-6(linha 2)
Agora é só resolver:
Então a base do complemento ortogonal é:
Passo 2
(b) Vamos primeiro representar um vetor qualquer: e fazer que o produto interno dele com cada um dos vetores seja zero:
Resolvendo o sisteminha:
Fazendo a (linha 2)=(linha 2)-2(linha1)...
Xiiii... deu ruim porque não dá pra achar, maaaas... super dava pra ver isso no início... porque os dois vetores são proporcionais... então eles são paralelos
Ficamos, então, com:
Podemos isolar o z:
Ficando com : .
Então a base do complemento ortogonal é:
Passo 3
(c) Vamos primeiro representar um vetor qualquer: e fazer que o produto interno dele com cada um dos vetores seja zero:
Agora vamos resolver o sisteminha (escalonando):
Fazendo (linha 2)=(linha 2)-2(linha 1) e (linha 3)=(linha 3)+(linha 1):
Fazendo (linha 3)=(linha 3)+(linha(2):
Então:
Ficamos, então com:
Então a base do complemento ortogonal é:
Passo 4
(c) Vamos primeiro representar um vetor qualquer: e fazer que o produto interno dele com cada um dos vetores seja zero:
Agora vamos resolver o sisteminha (escalonando):
Fazendo (linha 2)=(linha 2)-3(linha 1), linha (3)=linha(3)+linha(1) e (linha 4)=(linha 4)-2(linha 1):
Fazendo (linha 3)=(linha 3)... CALMA CALMA CALMA...
Nem vai dar pra continuar... repare que as 3 ultimas equações são todas “a mesma coisa”:
Substituindo na primeira equação:
Então a base do complemento ortogonal é:
(ps: aqui tem mais de uma resposta correta... vai depender de qual variável você isolar em (*).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)