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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.8 - Ex. 13

13. Encontre o polinômio quadrático cujo gráfico passa pelos pontos (1,1), (2,2), (3,5).

Passo 1

Com esses três ponto teremos essas três equações:

Do ponto 1,1 :

a 0 + a 1 ⋅ 1 + a 2 ⋅ 1 2 = 1

a o + a 1 + a 2 = 1

Do ponto 2,2 :

a 0 + a 1 ⋅ 2 + a 2 ⋅ 2 2 = 2

a 0 + 2 a 1 + 4 a 2 = 2

Do ponto 3,5 :

a 0 + a 1 ⋅ 3 + a 2 ⋅ 3 2 = 5

a 0 + 3 a 1 + 9 a 2 = 5

O sistema formado por essas equações é o seguinte:

a o + a 1 + a 2 = 1 a 0 + 2 a 1 + 4 a 2 = 2 a 0 + 3 a 1 + 9 a 2 = 5

Escrevendo na forma matricial:

1 1 1 1 2 4 1 3 9 ⋅ a 1 a 2 a 3 = 1 2 5

E escrevendo a matriz estendida:

1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 2 5

Passo 2

Vamos escalonar a matriz para encontrar a solução do sistema.

Somando - 1 vez a primeira equação na segunda:

1 1 1 0 1 3 1 3 9 1 1 5

Somando - 1 vez a primeira equação na terceira:

1 1 1 0 1 3 0 2 8 1 1 4

Somando - 2 vez a segunda equação na terceira:

1 1 1 0 1 3 0 0 2 1 1 2

Dividindoa a terceira equação por 2:

1 1 1 0 1 3 0 0 1 1 1 1

Somando - 3 vezes a terceira equação na segunda:

1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 - 2 1

Somando - 1 vez a terceira equação na primeira:

1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 - 2 1

Somando - 1 vez a segunda equação na primeira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 - 2 1

Ou seja, a solução do sistema é:

a o a 1 a 2 = 2 - 2 1

A equação fica:

y = x 2 - 2 x + 2

Resposta

y = x 2 - 2 x + 2

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