Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 13c
13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.
Passo 1
Um operador ser idempotente significa que:
E um operador, , é nilpotente se existir um certo número natural, , que faça com que:
Passo 2
c)
Esse operador apenas zera o termo da componente do vetor, dessa forma não importa quando vezes façamos essa operação nunca obteremos um vetor nulo, ou seja, não é nilpotente.
Se fizermos duas vezes a operação:
E esse resultado é o mesmo de quando aplicamos só uma vez o operador:
Pois
Dessa forma, o vetor é idempotente.
Resposta
O vetor é idempotente.
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Sejam V e W espaços vetoriais, T, T1 e T2 transformações lineares de V em W e k um escalar. Defina novas transformações T 1 + T 2 e k T pelas fórmulas T 1 + T 2 x = T 1 x + T 2 ( x ) k T x = k ( T x )
Se T x 1 ,x 2 = ( x 1 + x 2 ,- x 2 ,3 x 1 ) , então o domínio de T é _____, o contradomínio de T é _____ e a imagem de x = ( 1 ,- 2 ) por T é ______________.
Se T x 1 ,x 2 ,x 3 = ( x 1 + 2 x 2 ,x 1 - 2 x 2 ) , então o domínio de T é _____, o contradomínio de T é _____ e a imagem de x = ( 0 ,- 1 ,4 ) por T é ______________.
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