13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.

Passo 1

Um operador F ser idempotente significa que:

F 2 = F

E um operador, F , é nilpotente se existir um certo número natural, n , que faça com que:

F n = 0

Passo 2

c)

Esse operador apenas zera o termo da componente y do vetor, dessa forma não importa quando vezes façamos essa operação nunca obteremos um vetor nulo, ou seja, não é nilpotente.

Se fizermos duas vezes a operação:

F 2 x ,   y ,   z = F F x ,   y ,   z

F 2 x ,   y ,   z = F x ,   0 ,   z

F 2 x ,   y ,   z = x ,   0 ,   z

E esse resultado é o mesmo de quando aplicamos só uma vez o operador:

F 2 x ,   y ,   z = F x ,   y ,   z

Pois

x ,   0 ,   z = x ,   0 ,   z

Dessa forma, o vetor é idempotente.

Resposta

O vetor é idempotente.

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