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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 8

Sejam V e W espaços vetoriais, T, T1 e T2 transformações lineares de V em   W e k um escalar. Defina novas transformações T 1 + T 2 e k T pelas fórmulas

T 1 + T 2 x = T 1 x + T 2 ( x )

k T x = k ( T x )

  1. Mostre que T 1 + T 2 : V → W e k T : V → W são transformações lineares
  2. Mostre que o conjunto de todas transformações lineares de V e W forma um espaço vetorial com as operações dadas na parte (a)

Passo 1

  1. Para mostrar que as equações são lineares, temos que ter em mente os conceitos para ocorrer uma transformação linear:

  F u 1 + u 2 = F u 1 + F u 2  

α F u 1 = F ( α u 1 )

Agora aplicaremos a regrinha que o exercício pede, e vamos separar em Equação (1) e (2) para ficar mais fácil de mostra as contas!

1 → T 1 + T 2 x = T 1 x + T 2 x

2 → k T x = k ( T x

Passo 2

Tá, mas o que você faz agora? Tem que aplicar o conceito na regrinha do exercício! Vamos começar com a soma, usando o conceito que a soma das transformações é a transformações da soma, representado na Equação (1) e encaixar na Equação (3):

( T 1 + T 2 ) u + v = T 1 u + v + T 2 ( u + v )

Assim, quando aplicamos a distributiva, teremos:

T 1 u + v + T 2 u + v = T 1 u + T 1 v + T 2 u + T 2 ( v )

Assim, a primeira parte da equação, também fica:

T 1 u + T 2 u + T 1 v + T 2 ( v )

Assim notamos que a soma para o vetor u pode ser:

T 1 u + T 2 u = ( T 1 + T 2 ) ( u )

E o mesmo é valido para o vetor v :

T 1 v + T 2 v = ( T 1 + T 2 ) ( v )

Ou seja

T 1 + T 2 u + v = T 1 + T 2 u + T 1 + T 2 ( v )

Então a soma é válida.

Passo 3

Continuando, temos que aplicar a Equação (1) multiplicando por um escalar:

T 1 + T 2 α u = T 1 α u + T 2 α u

Se T 1 e T 2 são transformações lineares, então:

T 1 α u + T 2 α u = α T 1 u + α T 2 u

Colocando α em evidência:

α T 1 u + T 2 u = i = α T 1 + T 2 u

Assim:

T 1 + T 2 α u = α T 1 + T 2 u

Logo T 1 + T 2 também é transformação linear.

Passo 4

Agora vamos aplicar os mesmos conceitos para a segunda equação:

k T u + v = k ( T u + v )

Aplicando a distributiva:

u k T + v k Y =   k ( T u + T v )

Logo:

u k T + v k T = u k T + v k T

Assim, a soma é válida para Equação (2).

Passo 5

Vamos multiplicar por um escalar:

k T α u = k ( T α u )

Assim

T k α u = k a u ( T )

Logo, a segunda propriedade das transformações lineares também é valida

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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