Enunciado

16. A figura dada mostra o gráfico de um polinômio cúbico. Encontre o polinômio.

Passo 1

Para obtermos a equação de um polinômio cubico, nós precisamos de 4 pontos do gráfico. Ali é fácil de observar que o gráfico passa pelos pontos:

0,0 ,     2,5 ,     4,8 ,     6,3

Com esses quatro ponto teremos essas quatro equações:

Do ponto 0 ,   1 :

a 0 + a 1 ⋅ 0 + a 2 ⋅ 0 2 + a 3 ⋅ 0 3 = 0

a 0 = 0

Do ponto 2 ,   5 :

a 0 + a 1 ⋅ 2 + a 2 ⋅ 2 2 + a 3 2 3 = 5

a o + 2 a 1 + 4 a 2 + 8 a 3 = 5

Como a 0 = 0 :

2 a 1 + 4 a 2 + 8 a 3 = 5

Do ponto 4 ,   8 :

a 0 + a 1 ⋅ 4 + a 2 ⋅ 4 2 + a 3 ⋅ 4 3 = 8

a 0 + 4 a 1 + 16 a 2 + 64 a 3 = 8

Como a 0 = 0 :

4 a 1 + 16 a 2 + 64 a 3 = 8

Dividindo por 4:

a 1 + 4 a 2 + 16 a 3 = 2

Do ponto 6 ,   3 :

a 0 + a 1 ⋅ 6 + a 2 ⋅ 6 2 + a 3 ⋅ 6 3 = 3

a 0 + 6 a 1 + 36 a 2 + 216 a 3 = 3

Como a 0 = 0 :

6 a 1 + 36 a 2 + 216 a 3 = 3

Podemos dividir o sistema por 3 :

2 a 1 + 12 a 2 + 72 a 3 = 1

O sistema formado por essas equações é o seguinte:

2 a 1 + 4 a 2 + 8 a 3 = 5 a 1 + 4 a 2 + 16 a 3 = 2 2 a 1 + 12 a 2 + 7 2 a 3 = 1

Escrevendo na forma matricial:

2 4 8 1 4 1 6 2 12 7 2 ⋅ a 1 a 2 a 3 = 5 2 1

E escrevendo a matriz estendida:

2 4 8 1 4 16 2 12 72 5 2 1

Passo 2

Vamos escalonar a matriz para encontrar a solução do sistema.

Dividindo a primeira linha por 2:

1 2 4 1 4 16 2 12 72 5 / 2 2 1

Somando - 1 vez a primeira equação na segunda:

1 2 4 0 2 12 2 12 72 5 / 2 - 1 / 2 1

Dividindo a segunda linha por 2 :

1 2 4 0 1 6 2 12 72 5 / 2 - 1 / 4 1

Somando - 2 vez a primeira equação na terceira:

1 2 4 0 1 6 0 8 64 5 / 2 - 1 / 4 - 4

Somando - 8 vez a segunda equação na terceira:

1 2 4 0 1 6 0 0 1 6 5 / 2 - 1 / 4 - 2

Dividindo a terceira equação por 16:

1 2 4 0 1 6 0 0 1 5 / 2 - 1 / 4 - 1 / 8

Somando - 6 vezes a terceira equação na segunda:

1 2 4 0 1 0 0 0 1 5 / 2 1 / 2 - 1 / 8

Somando - 4 vezes a terceira equação na primeira:

1 2 0 0 1 0 0 0 1 3 1 / 2 - 1 / 8

Somando - 2 vezes a segunda equação na primeira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 / 2 - 1 / 8

Ou seja, a solução do sistema é:

a o a 1 a 2 a 3 = 0 2 1 / 2 - 1 / 8

A equação fica:

y = - x 3 8 + x 2 2 + 2 x

Resposta

y = - x 3 8 + x 2 2 + 2 x

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