Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.7 - Ex. 31
31. Em cada parte, verifique o Teorema 1.7.4 para a matriz dada.
(a)
(b)
Passo 1
O teorema 1.7.4 diz que: “Se for uma matriz simétrica invertível, então é simétrica”. Vamos inverter essas duas matrizes para verificar.
Vamos usar as operações com linhas para encontrar a inversa delas, assim como foi feito no Exemplo 4 da Seção 1.5.
Vamos escrever a Matriz do lado da Matriz Identidade
e ir fazendo alterações nas linhas delas até que a matriz se torne uma matriz identidade, quando isso ocorrer, onde antes a gente tinha a matriz identidade, agora teremos a matriz inversa de :
Passo 2
a)
Dividindo a primeira linha por :
Somando a primeira linha na ultima:
Multiplicando a ultima linha por :
Somando vez a linha 2 na linha :
Como podemos observar essa é uma matriz simétrica, como deveria ser.
Passo 3
b)
Somando 2 vezes a linha 1 na linha :
Somando vezes a linha 1 na linha :
Dividindo a segunda linha por :
Somando a linha 2 na linha 3:
Multiplicando a linha 3 por :
Somando vez a linha 3 na linha 2:
Somando vez a linha 3 na linha 1:
E por fim, somando 2 vezes a linha 2 na linha 1:
Como podemos observar essa é uma matriz simétrica, como deveria ser.
Resposta
a)
Como podemos observar essa é uma matriz simétrica, como deveria ser.
b)
Como podemos observar essa é uma matriz simétrica, como deveria ser.