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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 17

17. Encontre a , b e c para que a matriz

a 1 2 - 1 2 b 1 6 1 6 c 1 3 1 3

seja ortogonal. São únicos tais valores de a , b , e c

Passo 1

Os vetores de linha de uma matriz ortogonal são um conjunto ortonormal. Um conjunto é ortonormal quando seus vetores são unitários.

Passo 2

Relembrando o que é um vetor unitário, é um vetor cujo seu comprimento é 1

Tendo um vetor r = ( a , b , c )

r = a 2 + b 2 + c 2 = 1

Passo 3

Escrevendo primeiramente os vetores de linha

r 1 = ( a ,   1 2 , - 1 2 ) , r 2 = ( b ,   1 6 , 1 6 ) e r 3 = c , 1 3 , 1 3 )

Passo 4

Escrevendo o módulo do vetor r 1

r 1 = a 2 + 1 2 2 + - 1 2 2  

Assumindo que é um vetor unitário

1 = a 2 + 1 2 2 + - 1 2 2  

Elenvando ao quadrado

1 2 = a 2 + 1 2 2 + - 1 2 2

1 = a 2 + 1 2 + 1 2

1 = a 2 + 2 2

1 = a 2 + 1

Isolando a

a 2 = 1 - 1

a 2 = 0

Passo 5

Escrevendo o módulo do vetor r 2

r 2 = b 2 + 1 6 2 + 1 6 2  

Assumindo que é um vetor unitário

1 = b 2 + 1 6 2 + 1 6 2  

Elenvando ao quadrado

1 2 = b 2 + 1 6 2 + 1 6 2

1 = b 2 + 1 6 + 1 6

1 = b 2 + 2 6

Isolando b

b 2 = 1 - 2 6

Realizando MMC

6   b 2 6 = 6 6 - 2 6

6   b 2 = 6 - 2

6   b 2 = 4

Isolando b

  b 2 = 4 6

b = 4 6

b = ± 2 6

Passo 6

Escrevendo o módulo do vetor r 3

r 3 = c 2 + 1 3 2 + 1 3 2  

Assumindo que é um vetor unitário

1 = c 2 + 1 3 2 + 1 3 2  

Elenvando ao quadrado

1 2 = c 2 + 1 3 2 + 1 3 2

1 = c 2 + 1 3 + 1 3

1 = c 2 + 2 3

Isolando b

c 2 = 1 - 2 6

Realizando MMC

3 c 2 3 = 3 3 - 2 3

3   c 2 = 3 - 2

3   c 2 = 1

Isolando b

  c 2 = 1 3

c = 1 3

c = ± 1 3

Resposta

As únicas possibilidades são a = 0 , b = 2 6 , c = - 1 3 ou a = 0 , b = - 2 6 , c = 1 3

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