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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 14

Prove que uma matriz ortogonal A de tamanho 2 × 2 é de uma de duas formas possíveis, a saber,

A = cos ⁡ θ - s en ⁡ θ s en ⁡ θ cos ⁡ θ   o u   A = cos ⁡ θ s en ⁡ θ s en ⁡ θ - cos ⁡ θ

Onde 0 ≤ θ < 2 π . [Sugestão: comece com uma matriz arbitrária A = a i j de tamanho 2 × 2 e use o fato que os vetores coluna formam um conjunto ortonormal de R 2 ].

Passo 1

Pois bem, vamos tomar uma matriz ortogonal arbitrária A de tamanho 2 × 2 dada por

A = a 11 a 12 a 21 a 22

Utilizando a sugestão dada no problema de que os vetores coluna formam um conjunto ortonormal de R 2 vamos ter que

a 11 ⋅ a 12 + a 21 ⋅ a 22 = 0           1

Além disso, também temos que

a 11 2 + a 21 2 = 1 ,     a 12 2 + a 22 2 = 1       i

Valendo-nos da ortonomalidade também conseguimos inferir que

a 11 2 + a 12 2 = 1 ,     a 21 2 + a 22 2 = 1       i i

De i - i i tiramos que

a 12 2 + a 22 2 - a 11 2 + a 12 2 = 0 → a 1 1 2 = a 2 2 2

Substituindo esse fato em 1 vamos obter

a 11 ⋅ a 12 + a 21 ⋅ a 22 = 0 → a 11 ⋅ a 12 + a 21 ⋅ a 11 = 0 → a 12 = - a 21

Agora, façamos a seguinte mudança de variável

a 1 1 2 = a 2 2 2 = y 2 ,     a 1 2 2 = - a 21 2 = x 2  

Assim, podemos reescrever i como

x 2 + y 2 = 1

Que nada mais é do que a equação da circunferência que podemos passar para coordenadas polares para obtermos

x = sin ⁡ θ ,     y = cos ⁡ θ

Dessa forma, nossas possibilidades de matrizes a serem representadas são

A = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ   o u   A = cos ⁡ θ sen ⁡ θ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ

Como desejávamos mostrar.

Resposta

D e m o s n t r a ç ã o

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10. Repita o Exercício 8 com uma rotação no sentido anti-horário em torno do eixo x (olhando para baixo no eixo x positivo para a origem) pelo ângulo θ = 3 π 4 .
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6. Se x ' y ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema do sistema retangulares x y no sentido anti-horário pelo ângulo θ = 3 π 4 .(a) Encontre as coordenadas x ' y ' do pon
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10. Repita o Exercício 8 com uma rotação no sentido anti-horário em torno do eixo x (olhando para baixo no eixo x positivo para a origem) pelo ângulo θ = 3 π 4 .