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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 12

Seja x ' ' y ' ' z ' ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema de coordenadas retanqulares x y z no sentido anti-horário em torno do eixo z (olhando ao longo do eixo z positivo) pelo ângulo de 60   ° C , e seja x ' y ' z ' no sentido anti-horário em torno do eixo y ' (olhando ao longo do eixo y ' positivo) pelo ângulo de 45   ° C . Encontre uma matriz A tal que

x ' ' y ' ' z ' ' = A x y z

Onde ( x , y , z ) e x ' ' , y ' ' , z ' ' são coordenadas do mesmo ponto nos sistemas x y z e x ' ' y ' ' z ' ' , respectivamente.

(b) Repita a parte (a) com uma rotação em torno do eixo x .

Passo 1

Bora resolver mais essa?

Tendo o sentido anti-horário em torno do eixo z . Onde:

P = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Vamos considerar o ângulo:

P = cos ⁡ 60 - sen ⁡ 60 0 sen ⁡ 60 cos ⁡ 60 0 0 0 1 = 1 2 - 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1

Vamos checar se P é ortogonal, pela definição P P T = I

P P T = 1 2 - 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1 ∙ 1 2 3 2 0 - 3 2 1 2 0 0 0 1

P P T = 1 2 ∙ 1 2 - 3 2 ∙ - 3 2 1 2 ∙ 3 2 - 3 2 ∙ 1 2 0 3 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ - 3 2 3 2 ∙ 3 2 + 1 2 ∙ 1 2 0 0 0 1

P P T = 1 4 + 3 4 3 4 - 3 4 0 3 4 - 3 4 3 4 + 1 4 0 0 0 1

P P T = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Entã, considerando a definição onde:

P T = P - 1

Temos

P - 1 = 1 2 3 2 0 - 3 2 1 2 0 0 0 1

Temos para x ' , y ' , z ' :

x ' y ' z ' = P - 1 x y z

x ' y ' z ' = 1 2 3 2 0 - 3 2 1 2 0 0 0 1 x y z

Passo 2

Tendo sentido anti-horário em torno do eixo y ' (olhando ao longo do eixo y ' positivo). Onde:

Q = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ 0 1 0 - sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ

Vamos considerar o ângulo:

Q = cos ⁡ 45 0 sen ⁡ 45 0 1 0 - sen ⁡ 45 0 cos ⁡ 45 = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 1 2

Vamos checar se Q é ortogonal, pela definição Q Q T = I

Q Q T = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 1 2 ∙ 1 2 0 - 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

Q Q T = 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 0 1 2 ∙ - 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 0 1 0 - 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 0 - 1 2 ∙ - 1 2 + 1 2 ∙ 1 2

Q Q T = 1 2 + 1 2 0 - 1 2 + 1 2 0 1 0 - 1 2 + 1 2 0 1 2 + 1 2

Q Q T = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Entã, considerando a definição onde:

Q T = Q - 1

Temos:

Q - 1 = 1 2 0 - 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

Temos para x ' ' , y ' ' , z ' ' :

x ' ' y ' ' z ' ' = 1 2 3 2 0 - 3 2 1 2 0 0 0 1 1 2 0 - 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2 x y z

x ' ' y ' ' z ' ' = 1 2 ∙ 1 2 3 2 1 2 ∙ - 1 2 - 3 2 ∙ 1 2 1 2 - 3 2 ∙ - 1 2 1 2 0 1 2

x ' ' y ' ' z ' ' = 1 2 2 3 2 - 1 2 2 - 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 0 1 2

Resposta

A = 1 2 2 3 2 - 1 2 2 - 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 0 1 2

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