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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 16

Em cada parte, use o resultado do exercício 15 para determinar se a multiplicação por A é uma rotação ou uma reflexão seguida por uma rotação. Encontre o ângulo de rotação em ambos os casos

a - 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2

b - 1 2 3 2 3 2 1 2

Passo 1

Do exercício 15 chegamos a conclusão de que a multiplicação por A é uma rotação se det ⁡ A = 1 e é uma rotação ou uma reflexão seguida por uma rotação se det ⁡ A = - 1 . Sendo assim, vamos avaliar cada um dos casos começando pela primeira matriz onde teremos

- 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2 ⋅ A = - 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2 ⋅ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ =

A multiplicação dessas matrizes resultará no seguinte determinante

det ⁡ a ⋅ A = 1 2 ⋅ s en ⁡ θ - cos ⁡ θ 2 + 1 2 ⋅ cos ⁡ θ + s en ⁡ θ 2 = 1 2 + 1 2 = 1

Logo temos uma rotação cujo ângulo é obtido comparando-se com a matriz A original o que para nosso caso resultará em um Ângulo de θ = 5 π 4 .

Passo 2

Procedendo da mesma maneira para o segundo caso vamos ter

- 1 2 3 2 3 2 1 2 ⋅ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Cujo determinante será dado por

det ⁡ b ⋅ A = - cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = - 1

O que nos faz inferir que temos uma reflexão seguida de uma rotação e o ângulo obtido por comparação faz com que obtenhamos θ = 2 π 3 .

Resposta

a   A p e n a s   r o t a ç ã o   ,   θ = 5 π 4

b   R e f l e x ã o   s e g u i d a   d e   r o t a ç ã o ,   θ = 2 π 3

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8. Se x ' y ' z ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema do sistema retangulares x y z no sentido anti-horário em torno do eixo z (olhando para baixo no eixo z positivo)
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Considere o conjunto B =W 1 = 1 , - 1,1 ,W 2 = 1,1 , 0 , W 3 = ( - 1,1 , 2 ) . a )M o s t r eq u eoc o n j u n t oBéo r t o g o n a le mr e l a ç ã oa op r o d u t oi n t e r n ou s u a ld eR 3 . é çã