Enunciado

17 Mostre que o conjunto de todos os pontos em R2 que estão numa reta é um espaço vetorial em relação às operações padrão de adição e multiplicação por escalar se, e só se, a reta passa pela origem.

Passo 1

Uma reta é representada pela equação:

y = A x + B

Os pontos dessa reta são represetados da seguinte maneira:

P = x ,   y

Vamos fazer a soma de dois vetores:

x 1 ,   y 1 + x 2 ,   y 2 = x 3 ,   y 3

Do segundo termo desse vetor temos que:

y 1 + y 2 = y 3

Pela equação da reta a gente sabe que:

A x 1 + B + A x 2 + B = A x 3 + B

A x 1 + A x 2 + 2 B = A x 3 + B

Se olharmos para o primeiro termo vemos que

x 1 + x 2 = x 3

Podemos multiplicar por A dos dois lados e teremos:

A x 1 + A x 2 = A x 3

Substituindo na equação do segundo termo:

A x 3 + 2 B = A x 3 + B

2 B = B

Ou seja

B = 0

Dessa forma a equação da reta fica:

x = A x

Que é a equação geral das retas que passam pela origem.

Passo 2

Agora vamos fazer a multiplicação de um vetor por um escalar:

k x 1 ,   y 1 = x 2 ,   y 2

k x 1 ,   k y 1 = x 2 ,   y 2

Pela segundo termo:

k y 1 = y 2

k A x 1 + B = A x 2 + B

A k x 1 + k B = A x 2 + B

E pelo primeiro termo:

k x 1 = x 2

Multiplicando por A :

A k x 1 = A x 2

Substituindo isso na equação que saiu do segundo termo:

A x 2 + k B = A x 2 + B

k B = B

Ou seja, para que a multiplicação por escalar seja seja a padrão, B deve ser igual a zero.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam. x ,2 x ,3
O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam. A = 0 a b
O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam. A = x , y
Nos Exercícios 29-32, encontre a distância entre o ponto e a reta.29. 4 x + 3 y + 4 = 0 ; ( - 3,1 )
Nos Exercícios 33-36, encontre a distância entre o ponto e o plano.35. - 1 ,2 ,1 ; 2 x + 3 y - 4 z = 1