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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 17

17. Os vetores dados são ortonormal com o produto intrno euclidiano. Use o Teorema 6.3.2b para encontra p r o j w → x → , com x → = ( 1,2 , 0 , - 1 ) e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.

(a) v → 1 = 0 , 1 18 ,   - 4 18 , - 1 18 , v → 2 = 1 2 , 5 6 , 1 6 , 1 6 ,   v → 3 = 1 18 , 0 ,   1 18 , - 4 18

(b) v → 1 = 1 2 , 1 2 ,   1 2 , 1 2 , v → 2 = 1 2 , 1 2 , - 1 2 , - 1 2 , v → 3 = 1 2 , - 1 2 , 1 2 , - 1 2

Passo 1

Vamos usar o teorema:

p r o j W x → = x → ⋅ v → 1 v → 1 + x → ⋅ v → 2 v → 2 + ( x → ⋅ v → 3 ) v → 3

(a) Vamos calcular os produtos internos:

x → ⋅ v → 1 = 1 0 + 2 1 18 + 0 - 4 18 + - 1 - 1 18

x → ⋅ v → 1 = 1 2

x → ⋅ v → 2 = 1 1 2 + 2 5 6 + 0 1 6 + - 1 1 6

x → ⋅ v → 2 = 2

x → ⋅ v → 3 = 1 1 18 + 2 0 + 0 1 18 + - 1 - 4 18

x → ⋅ v → 3 = 5 3 2

Então:

p r o j W x → = 1 2 v → 1 + 2 v → 2 + 5 3 2 v → 3

Passo 2

(b) Vamos calcular os produtos internos:

x → ⋅ v → 1 = 1 1 2 + 2 1 2 + 0 1 2 + - 1 1 2

x → ⋅ v → 1 = 1 2

x → ⋅ v → 2 = 1 1 2 + 2 1 2 + 0 - 1 2 + - 1 - 1 2

x → ⋅ v → 2 = 2

x → ⋅ v → 3 = 1 1 2 + 2 - 1 2 + 0 1 2 + - 1 - 1 2

x → ⋅ v → 3 = 0

Então:

p r o j W x → = 1 2 v → 1 + 2 v → 2

Resposta

(a) p r o j W x → = 1 2 v → 1 + 2 v → 2 + 5 3 2 v → 3

(b) p r o j W x → = 1 2 v → 1 + 2 v → 2

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