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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 20

20. Encontre os veores w → 1 em W e w → 2 em W ⊥ tais que x → = w → 1 + w → 2 com x → e W dados no

(a) Exercício 16(a)

(b) Exercício 17(a)

Passo 1

(a) os dados:

x → = 1,2 , 0 , - 1 , v → 1 = 0 , 1 18 ,   - 4 18 , - 1 18 , v → 2 = 1 2 , 5 6 , 1 6 , 1 6

E no exercício 16 achamos:

p r o j W x → = 1 2 v → 1 + 2 v → 2

p r o j W x → = 1 2 0 , 1 18 ,   - 4 18 , - 1 18 + 2 1 2 , 5 6 , 1 6 , 1 6

p r o j W x → = 0 , 1 6 , - 4 6 , - 1 6 + 2 2 , 10 6 , 2 6 , 2 6

p r o j W x → = 1 , 11 6   , - 1 3 , 1 6

Passo 2

Com ajuda da fórmula (10) no meio do capítulo:

u → = p r o j W u → + u → - p r o j W u →

No nosso caso:

x → = w → 1 + w → 2

Então:

w → 1 = p r o j W x →

w → 1 = 1 , 11 6   , - 1 3 , 1 6

E para o outro:

w → 2 = x → -   p r o j W x →

w → 2 = 1,2 , 0 , - 1 -   1 , 11 6   , - 1 3 , 1 6

w → 2 = 0 , 1 6   , - 1 3 , - 5 6

Passo 3

(a) os dados:

x → = 1,2 , 0 , - 2 , v → 1 = 0 , 1 18 ,   - 4 18 , - 1 18 , v → 2 = 1 2 , 5 6 , 1 6 , 1 6 ,  

v → 3 = 1 18 , 0 ,   1 18 , - 4 18

E no exercício 17 achamos:

p r o j W x → = 1 2 v → 1 + 2 v → 2 + 5 3 2 v → 3

p r o j W x → = 1 2 0 , 1 18 ,   - 4 18 , - 1 18 + 2 1 2 , 5 6 , 1 6 , 1 6 + 5 3 2 1 18 , 0 ,   1 18 , - 4 18

p r o j W x → = 0 , 1 6 , - 4 6 , - 1 6 + 2 2 , 10 6 , 2 6 , 2 6 + 5 18 , 0 , 5 18 , - 20 18

p r o j W x → = 23 18 , 11 6   , - 1 18 , - 17 18

Passo 4

Com ajuda da fórmula (10) no meio do capítulo:

u → = p r o j W u → + u → - p r o j W u →

No nosso caso:

x → = w → 1 + w → 2

Então:

w → 1 = p r o j W x →

w → 1 = 23 18 , 11 6   , - 1 18 , - 17 18

E para o outro:

w → 2 = x → -   p r o j W x →

w → 2 = 1,2 , 0 , - 1 -   23 18 , 11 6   , - 1 18 , - 17 18

w → 2 = - 5 18 , 1 6   , 1 18 , 1 18

Resposta

(a) w → 1 = 1 , 11 6   , - 1 3 , 1 6

w → 2 = 0 , 1 6   , - 1 3 , - 5 6

(b) w → 1 = 23 18 , 11 6   , - 1 18 , - 17 18

w → 2 = - 5 18 , 1 6   , 1 18 , 1 18

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