19. Encontre os vetores w → 1 em W e w → 2 em W ⊥ tais que x → = w → 1 + w → 2 com x → e W dados no

(a) Exercício 14(a)

(b) Exercício 15(a)

Passo 1

(a) os dados:

x → = 1,2 , 0 , - 2 , v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1,1 , - 1 , - 1

E no exercício 14 achamos:

p r o j W x → = 1 4 v → 1 + 5 4 v → 2

p r o j W x → = 1 4 1,1 , 1,1 + 5 4 1,1 , - 1 , - 1

p r o j W x → = 1 4 , 1 4 , 1 4 , 1 4 + 5 4 , 5 4 , - 5 4 , - 5 4

p r o j W x → = 3 2 , 3 2 , - 1 , - 1

Passo 2

Com ajuda da fórmula (10) no meio do capítulo:

u → = p r o j W u → + u → - p r o j W u →

No nosso caso:

x → = w → 1 + w → 2

Então:

w → 1 = p r o j W x →

w → 1 = 3 2 , 3 2 , - 1 , - 1

E para o outro:

w → 2 = x → -   p r o j W x →

w → 2 = 1,2 , 0 , - 2 -   3 2 , 3 2 , - 1 , - 1

w → 2 = - 1 2 , 1 2 , 1 , - 1

Passo 3

(a) os dados:

x → = 1,2 , 0 , - 2 , v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1,1 , - 1 , - 1 , v → 3 = 1 , - 1,1 , - 1

E no exercício 15 achamos:

p r o j W x → = 1 4 v → 1 + 5 4 v → 2 + 1 4 v → 3

p r o j W x → = 1 4 1,1 , 1,1 + 5 4 1,1 , - 1 , - 1 + 1 4 1 , - 1,1 , - 1

p r o j W x → = 1 4 , 1 4 , 1 4 , 1 4 + 5 4 , 5 4 , - 5 4 , - 5 4 + 1 4 , - 1 4 , 1 4 - 1 4

p r o j W x → = 7 4 , 5 4 , - 3 4 , - 5 4

Passo 4

Com ajuda da fórmula (10) no meio do capítulo:

u → = p r o j W u → + u → - p r o j W u →

No nosso caso:

x → = w → 1 + w → 2

Então:

w → 1 = p r o j W x →

w → 1 = 7 4 , 5 4 , - 3 4 , - 5 4

E para o outro:

w → 2 = x → -   p r o j W x →

w → 2 = 1,2 , 0 , - 2 -   7 4 , 5 4 , - 3 4 , - 5 4

w → 2 = - 3 4 , 3 4 , 3 4 , - 3 4

Resposta

(a) w → 1 = 3 2 , 3 2 , - 1 , - 1

w → 2 = - 1 2 , 1 2 , 1 , - 1

(b) w → 1 = 7 4 , 5 4 , - 3 4 , - 5 4

w → 2 = - 3 4 , 3 4 , 3 4 , - 3 4

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