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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 18

No Exemplo 6 da seção 4.9, encontramos a projeção ortogonal do vetor x → = ( 1 ,   5 ) , sobre a reta pela origem que faz um ângulo de π / 6 com o eixo x positivo. Resolva o mesmo problema usando o Teorema 6.3.4

Passo 1

O exemplo 6 apresenta como bases os vetores e 1 → = 3 4 , 3 4 e e 2 → = 3 4 , 1 4 . Vamos primeiro verificar se são ortogonais

e 1 → , e 2 → = 3 3 16 + 3 16 = 3 4 ≠ 0

Logo, essa base não é ortogonal.

Passo 2

Para ortogonalizar a base [ e 1 → , e 2 → ] , vamos usar do processo de Gram-Schmidt.

v 1 ' → = e 1 → = 3 4 , 3 4

v 2 ' → = e 2 → - e 2 → ,   v 1 ' → v 1 ' → 2 ∙ e 2 →

v 2 ' → = 3 4 , 1 4 - 3 4 , 1 4 ,   3 4 , 3 4 3 4 , 3 4 2 ∙ 3 4 , 1 4

v 2 ' → = 3 4 , 1 4 - 3 4 12 16 ∙ 3 4 , 1 4

v 2 ' → = 3 4 , 1 4 - 3 3 12 , 3 12

v 2 ' → = 3 4 , 1 4 - 3 4 , 1 4

v 2 ' → = 0 ,   0

Passo 3

Com a base ortogonalizada, vamos normalizá-la para que as contas fiquem mais simples.

v 1 → = v ' 1 → v ' 1 →

v 1 → = 3 4 , 3 4 3 4 , 3 4

v 1 → = 3 4 , 3 4 3 2

v 1 → = 3 2 , 1 2

Logo, a base ortonormal de W é 3 2 , 1 2 , 0 ,   0

Passo 4

Aplicando o Teorema, temos:

p r o j W u → = u → , v 1 → v 1 → + u → , v 2 → v 2 →

p r o j W 1 ,   5 = 1 ,   5 , 3 2 , 1 2 3 2 , 1 2 + ( 1 ,   5 ) , 0 ,   0 0 ,   0

p r o j W 1 ,   5 = 1 ,   5 , 3 2 , 1 2 3 2 , 1 2 + ( 1 ,   5 ) , 0 ,   0 0 ,   0

p r o j W 1 ,   5 = 1 ,   5 , 3 2 , 1 2 3 2 , 1 2

p r o j W 1 ,   5 = 3 2 + 1 2 3 2 , 1 2

p r o j W 1,5 = 3 + 5 3 4 , 5 + 3 4

Resposta

p r o j W 1,5 = 3 + 5 3 4 , 5 + 3 4

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