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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 14

14. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.

(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1,1 , - 1 , - 1

(b) v → 1 = 0,1 , - 4 , - 1 , v → 2 = 3,5 , 1,1

Passo 1

Vamos usar o teorema:

p r o j W x → = x → ⋅ v → 1 v → 1 2 v → 1 + x → ⋅ v → 2 v → 2 2 v → 2

(a) Vamos começar calculando a norma de cada vetor:

v → 1 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2

v → 1 = 2

v → 2 = 1 2 + 1 2 + - 1 2 + - 1 2

v → 2 = 2

Passo 2

Agora vamos calcular os produtos internos:

x → ⋅ v → 1 = 1 1 + 2 1 + 0 1 + - 2 ( 1 )

x → ⋅ v → 1 = 1

x → ⋅ v → 2 = 1 1 + 2 1 + 0 - 1 + - 2 - 1

x → ⋅ v → 2 = 5

Então:

p r o j W x → = 1 2 2 v → 1 + 5 2 2 v → 2

p r o j W x → = 1 4 v → 1 + 5 4 v → 2

Passo 3

(b) Vamos começar calculando a norma de cada vetor:   v → 1 = 0,1 , - 4 , - 1 , v → 2 = 3,5 , 1,1

v → 1 = 0 2 + 1 2 + - 4 2 + - 1 2

v → 1 = 3 2

v → 2 = 3 2 + 5 2 + 1 2 + 1 2

v → 2 = 6

Passo 4

Agora vamos calcular os produtos internos:

x → ⋅ v → 1 = 1 0 + 2 1 + 0 - 4 + - 2 ( - 1 )

x → ⋅ v → 1 = 4

x → ⋅ v → 2 = 1 3 + 2 5 + 0 1 + - 2 1

x → ⋅ v → 2 = 11

Então:

p r o j W x → = 4 3 2 2 v → 1 + 11 6 2 v → 2

p r o j W x → = 2 9 v → 1 + 11 36 v → 2

Resposta

(a) p r o j W x → = 1 4 v → 1 + 5 4 v → 2

(b) p r o j W x → = 2 9 v → 1 + 11 36 v → 2

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Seja V = C 0 - 1,1 o conjunto das funções contínuas do intervalo - 1,1 em R com o produto interno definido por f , g = ∫ - 1 1 f t g t d t Sabendo-se que p 0 t = 1 é base ortogonal de P 0 , p 0 t = 1
Mostre que se W 1 , … , W k são vetores não nulos ortogonais e x = α 1 W 1 + … + α k W k , então X = p r o j W 1 X + … + p r o j W k X .
f t = t , s e0 ≤ t1 4 1 4 , s e 1 4 ≤ t3 4 1 - t , s e 3 4t ≤ 1