Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 18
18. Considere as matrizes:
e
- Mostre que a equação Ax=x pode ser reescrita como (A-I)x=0 e use esse resultado para resolver Ax=x para x
- Resolva Ax=4x
Passo 1
a)
Vamos olhar para a equação que ele nos dá:
Nós podemos substrair dos dois lados da equação:
Sabemos também que a matriz identidade é o termo nulo da multiplicação, então:
Então podemos substituir esse resultado na nossa equação:
E pelas propriedades da aritimética matricial, apresentada na seção 4 desse capitulo, podemos reescrever essa diferença como:
Passo 2
Vamos escrever a matriz estendida e escalona-la para resolver o sistema:
Somando vezes a primeira linha na segunda. E somando vezes a primeira linha na terceira:
Multiplicando a segunda linha por :
Somando, 2 vezes a segunda linha, à terceira:
Dividindo a terceira linha por 6:
Somando vezes a linha 3 na linha 1 e vezes a linha 3 na linha 2:
Somando vez a linha 2 na linha 1:
O sistema só possui a solução trivial:
Passo 3
b)
Agora vamos resolver o outro sistema que o exercícios nos pede. Podemos mudar ele de uma maneira pareceida como fizemos na letra a:
Agora escrevendo as mztrizes:
Passo 4
Vamos escrever a matriz estendida e escalona-la para resolver o sistema:
Dividindo a primeira linha por :
Somando vezes a primeira linha na segunda. E somando vezes a primeira linha na terceira:
Multiplicando a segunda linha por e a terceira por :
Daqui a gente tira que:
e
Como :
O sistema possui, além da solução trivial, a seguinte solução geral:
Resposta
a)
b)