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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 19

Nos exercícios 19-20, resolva a equação matricial dada para X

19.

1 - 1 1 2 3 0 0 2 - 1 X = 2 - 1 5 7 8 4 0 - 3 0 1 3 5 - 7 2 1

Passo 1

Podemos transformar a matriz da esquerda em uma matriz por blocos:

2 4 3 - 1 0 5 5 - 3 - 7 7 0 2 8 1 1

Então o problema se torna parecido com o do Exemplo 2 dessa seção, só que no nosso caso temos 5 colunas de constantes, ao invés de 2.

Aumentando a matriz dos coeficientes com as colunas das constantes:

1 - 1 1 2 3 0 0 2 - 1   2 4 3   - 1 0 5   5 - 3 - 7   7 0 2   8 1 1

Então vamos ir realizando operações com as linhas até obter a matriz identidade onde está a matriz dos coeficientes. Após isso, no lugar das colunas das constantes, vamos ter as colunas que são as soluções do sistema.

Passo 2

Vamos escrever a matriz estendida e escalona-la para resolver o sistema:

1 - 1 1 2 3 0 0 2 - 1   2 4 3   - 1 0 5   5 - 3 - 7   7 0 2   8 1 1

Somando - 2 vezes a primeira linha na segunda:

1 - 1 1 0 5 - 2 0 2 - 1   2 0 3   - 1 2 5   5 - 1 3 - 7   7 - 14 2   8 - 1 5 1

Dividindo a segunda linha por 5 :

1 - 1 1 0 1 - 2 5 0 2 - 1   2 0 3   - 1 2 5 5   5 - 13 5 - 7   7 - 14 5 2   8 - 3 1

Somando, - 2 vezes a segunda linha, à terceira:

1 - 1 1 0 1 - 2 5 0 0 - 1 5   2 0 3   - 1 2 5 21 5   5 - 13 5 - 9 5   7 - 14 5 38 5   8 - 3 7

Multiplicando a terceira linha por - 5 :

1 - 1 1 0 1 - 2 5 0 0 1   2 0 - 15   - 1 2 5 - 21   5 - 13 5 9   7 - 14 5 - 38   8 - 3 - 35

Somando 2 5 vezes a linha 3 na linha 2 e - 1 vez a linha 3 na linha 1: 1 - 1 0 0 1 0 0 0 1   17   - 6 - 15   20 - 8 - 21   - 4 1 9   45 - 18 - 38   43 - 17 - 35

Somando a linha 2 na linha 1:

1 0 0 0 1 0 0 0 1   1 1   - 6 - 15   1 2 - 8 - 21   - 3 1 9   27 - 18 - 38   26 - 17 - 35

Portando a solução para o problema é a matriz:

X = 11 12 - 3 2 7 26 - 6 - 8 1 - 18 - 1 7 - 15 - 21 9 - 38 - 35

Resposta

X = 11 12 - 3 27 26 - 6 - 8 1 - 18 - 17 - 15 - 21 9 - 38 - 35

Ver Outros Exercícios desse livro

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[[3 x_1,+,5,x_2,=,b_1],[x_1,+,2,x_2,=,b_2]]
[[x_1,+,2,x_2,+,3 x_3,=,b_1],[2,x_1,+,5,x_2,+,5 x_3,=,b_2],[3,x_1,+,5,x_2,+,8,x_3,=,b_3]]
[[x_1,+,x_2,=,2],[5,x_1,+,6,x_2,=,9]]
[[x_1,-,5,x_2,=,b_1],[3,x_1,+,2,x_2,=,b_2]] b_1 = 1 , b_2 = 4 b_1 = - 2 , b_2 = 5
[[4 x_1,-,7,x_2,=,b_1],[x_1,+,2,x_2,=,b_2]] b_1 = 0 , b_2 = 1 b_1 = - 1 , b_2 = 3 b_1 = - 4 , b_2 = 6 b_1 = - 5 , b_2 = 1