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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 5

[[x,+,y,+,z,=,5],[x,+,y,-,4,z,=,10],[-,4,x,+,y,+,z,=,0]]

Passo 1

O enunciado fala pra gente resolver esse sistema invertendo a matriz de coeficientes e usando o Teorema 1.6.2 que diz que “Se A dor uma matriz invertível n xx n , então para cada matriz b de tamanho n xx 1 , o sistema de equações A x = b tem exatamente uma solução, a saber, x = A^(- 1) b ”. Então bora aplicar isso ai no nossos sistema.

Passo 2

Temos que

[[x,+,y,+,z,=,5],[x,+,y,-,4,z,=,10],[-,4,x,+,y,+,z,=,0]] => [[[1,1,1],[1,1,-,4],[-,4,1,1]]] [[[x],[y],[z]]] = [[[5],[10],[0]]] =>

=> underset(I)(underset(⏝)([[[1,1,1],[1,1,-,4],[-,4,1,1]]]^(- 1) [[[1,1,1],[1,1,-,4],[-,4,1,1]]])) [[[x],[y],[z]]] = [[[1,1,1],[1,1,-,4],[-,4,1,1]]]^(- 1) [[[5],[10],[0]]] =>

=> [[[x],[y],[z]]] = [[[1,1,1],[1,1,-,4],[-,4,1,1]]]^(- 1) [[[5],[10],[0]]]

Agora nossa matriz é de ordem maior que 2, bora calcular a inversa dela através do algoritmo.

Passo 3

Nosso algoritmo diz pra operarmos [ A | I ] até chegarmos em [ I | X ] , onde X = A^(- 1) . Então bora lá

A = [[[1,1,1],[1,1,-,4],[-,4,1,1]]] => [A,I] = [[[[[1,1,1],[1,1,-,4],[-,4,1,1]]]],[[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]]] =>

=> [[],[L_2,=,L_2,-,L_1],[L_3,=,L_3,-,L_1]] = [[[[[1,1,1],[0,0,-,5],[-,5,0,0]]]],[[[[1,0,0],[-,1,1,0],[-,1,0,1]]]]] =>

=> [[,L_1,<=>,L_3],[L_2,<=>,L_1],[,L_3,<=>,L_2]] = [[[[[-,5,0,0],[1,1,1],[0,0,-,5]]]],[[[[-,1,0,1],[1,0,0],[-,1,1,0]]]]] =>

=> [[,L_1,=,- (1)/(5) L_1],[],[,L_3,=,- (1)/(5) L_3]] = [[[[[1,0,0],[1,1,1],[0,0,1]]]],[[[[(1)/(5),0,-,(1)/(5)],[1,0,0],[(1)/(5),-,(1)/(5),0]]]]] =>

=> [[,],[,L_2,=,L_2,-,L_1,],[,]] = [[[[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,1]]]],[[[[(1)/(5),0,-,(1)/(5)],[(4)/(5),0,(1)/(5)],[(1)/(5),-,(1)/(5),0]]]]] =>

=> [[,],[,L_2,=,L_2,-,L_3,],[,]] = [[[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]],[[[[(1)/(5),0,-,(1)/(5)],[(3)/(5),(1)/(5),(1)/(5)],[(1)/(5),-,(1)/(5),0]]]]] =>

Logo

A^(- 1) = [[[[[[[(1)/(5),0,-,(1)/(5)],[(3)/(5),(1)/(5),(1)/(5)],[(1)/(5),-,(1)/(5),0]]]]]]]

Passo 4

Agora que encontramos a inversa da nossa matriz podemos finalmente resolver a equação

[[[x],[y],[z]]] = [[[1,1,1],[1,1,-,4],[-,4,1,1]]]^(- 1) [[[5],[10],[0]]] =>

=> [[[x],[y],[z]]] = [[[[[[[(1)/(5),0,-,(1)/(5)],[(3)/(5),(1)/(5),(1)/(5)],[(1)/(5),-,(1)/(5),0]]]]]]] [[[5],[10],[0]]] = [[x,=,1,+,0,+,0,=,1],[y,=,3,+,2,+,0,=,5],[z,=,1,-,2,+,0,=,-,1]]

Logo x = 1 , y = 5 e z = - 1

Resposta

x = 1 , y = 5 e z = - 1

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3 x 1 + 5 x 2 = b 1 x 1 + 2 x 2 = b 2
x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = b 1 2 x 1 + 5 x 2 + 5 x 3 = b 2 3 x 1 + 5 x 2 + 8 x 3 = b 3
x 1 + x 2 = 2 5 x 1 + 6 x 2 = 9
x 1 - 5 x 2 = b 1 3 x 1 + 2 x 2 = b 2 b 1 = 1 , b 2 = 4 b 1 = - 2 , b 2 = 5
4 x 1 - 7 x 2 = b 1 x 1 + 2 x 2 = b 2 b 1 = 0 , b 2 = 1 b 1 = - 1 , b 2 = 3 b 1 = - 4 , b 2 = 6 b 1 = - 5 , b 2 = 1