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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 4

[[5,x_1,+,3,x_2,+,2,x_3,=,4],[3,x_1,+,3,x_2,+,2 x_3,=,2],[0,x_1,+,3,x_2,+,x_3,=,5]]

Passo 1

O enunciado fala pra gente resolver esse sistema invertendo a matriz de coeficientes e usando o Teorema 1.6.2 que diz que “Se A dor uma matriz invertível n xx n , então para cada matriz b de tamanho n xx 1 , o sistema de equações A x = b tem exatamente uma solução, a saber, x = A^(- 1) b ”. Então bora aplicar isso ai no nossos sistema.

Passo 2

Temos que

[[5,x_1,+,3,x_2,+,2,x_3,=,4],[3,x_1,+,3,x_2,+,2 x_3,=,2],[0,x_1,+,3,x_2,+,x_3,=,5]] => [[[5,3,2],[3,3,2],[0,3,1]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[4],[2],[5]]] =>

=> underset(I)(underset(⏝)([[[5,3,2],[3,3,2],[0,3,1]]]^(- 1) [[[5,3,2],[3,3,2],[0,3,1]]])) [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[5,3,2],[3,3,2],[0,3,1]]]^(- 1) [[[4],[2],[5]]] =>

=> [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[5,3,2],[3,3,2],[0,3,1]]]^(- 1) [[[4],[2],[5]]]

Agora nossa matriz é de ordem maior que 2, então bora calcular a inversa dela através do algoritmo.

Passo 3

Nosso algoritmo diz pra operarmos [ A | I ] até chegarmos em [ I | X ] , onde X = A^(- 1) . Então bora lá

A = [[[5,3,2],[3,3,2],[0,3,1]]] => [A,I] = [[[5,3,2],[3,3,2],[0,3,1]],[[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]]]

Fazendo as continhas, temos que

A^(- 1) = [[[[[(1)/(2),-,(1)/(2),0],[(1)/(2),-,(5)/(6),(2)/(3)],[-,(3)/(2),(5)/(2),-,1]]]]]

Passo 4

Agora que encontramos a inversa da nossa matriz podemos finalmente resolver a equação

[[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[5,3,2],[3,3,2],[0,3,1]]]^(- 1) [[[4],[2],[5]]] =>

=> [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[[[(1)/(2),-,(1)/(2),0],[(1)/(2),-,(5)/(6),(2)/(3)],[-,(3)/(2),(5)/(2),-,1]]]]] [[[4],[2],[5]]] = [[[1],[(11)/(3)],[-,6]]]

Logo x_1 = 1 , x_2 = (11)/(3) e x_3 = - 6

Resposta

Logo x_1 = 1 , x_2 = (11)/(3) e x_3 = - 6

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