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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 24

Supondo que as inversas envolvidas existam, prove as igualdades a seguir.

  1. C - 1 + D - 1 - 1 = C C + D - 1 D
  2. I + C D - 1 C = C I + D C - 1
  3. C + D D T - 1 D = C - 1 D I + D T C - 1 D - 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item (a):

Sabendo que:

A + B - 1 = A - 1 + B - 1

Temos que:

C - 1 + D - 1 - 1 = C - 1 - 1 + D - 1 - 1

Como:

A - 1 - 1 = A

Temos que:

C - 1 + D - 1 - 1 = C + D

Vamos agora simplificar o lado direito:

C C + D - 1 D = C C - 1 + D - 1 D

C C + D - 1 D = C C - 1 D + C D - 1 D = I D + C I = D + C

Logo:

C - 1 + D - 1 - 1 = C C + D - 1 D

C + D = D + C

Passo 2

Item (b):

Vamos simplificar I + C D - 1 C .

Sabendo que:

A + B - 1 = A - 1 + B - 1

Temos que:

I + C D - 1 C = I - 1 C + C D - 1 C

Sendo:

A B - 1 = B - 1 A - 1

Temos que:

I + C D - 1 C = I C + C - 1 D - 1 C

Portanto:

I + C D - 1 C = C + D - 1

Simplificando o lado direito da equação do item b, temos que:

C I + D C - 1 = C I - 1 + D C - 1

C I + D C - 1 = C I + C D - 1 C - 1

Ou seja:

C I + D C - 1 = C + D - 1

Portanto:

I + C D - 1 C = C I + D C - 1

Passo 3

Item c:

Agora temos que provar que:

C + D D T - 1 D = C - 1 D I + D T C - 1 D - 1

Vamos analisar o lado esquerdo. Temos que:

C + D D T - 1 D = C - 1 D + D D T - 1 D

C + D D T - 1 D = C - 1 D + D - 1 D T - 1 D

Ou seja:

C + D D T - 1 D = C - 1 D + I D T - 1

C + D D T - 1 D = C - 1 D + D T - 1

Analisando agora o lado direito da equação, temos que:

C - 1 D I + D T C - 1 D - 1 = C - 1 D I - 1 + C - 1 D D T C - 1 D - 1

C - 1 D I + D T C - 1 D - 1 = C - 1 D I + C - 1 D D T - 1 C - 1 - 1 D - 1

Desenvolvendo, temos que:

C - 1 D I + D T C - 1 D - 1 = C - 1 D + C - 1 D T - 1 C

C - 1 D I + D T C - 1 D - 1 = C - 1 D + D T - 1

Ou seja:

C + D D T - 1 D = C - 1 D I + D T C - 1 D - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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