18 Mostre que o conjunto de todos os pontos em R3 que estão num plano é um espaço vetorial em relação às operações padrão de adição e multiplicação por escalar se, e só se, o plano passa pela origem.

Um plano é representado pela equação:

Para facilitar nossas contas vamos dividir essa equação pela constante que multiplica o :

Os pontos desse plano são represetados da seguinte maneira:

Vamos fazer a soma de dois vetores:

Do primeiro termo desse vetor temos que:

Pela equação da reta a gente sabe que:

Se olharmos para o segundo e terceiro termo vemos que

e

Podemos multiplicar por dos dois lados e teremos:

e

Substituindo na equação do primeiro termo:

Ou seja

Dessa forma a equação do plano fica:

Que é a equação geral das retas que passam pela origem.