Enunciado

Seja B uma matriz quadrada 2 × 2 .

b) Verifique que B R θ é a matriz obtida girando as linhas de B de - θ .

Passo 1

Vamos fazer algo bem parecido com a alternativa anterior, mas agora invertendo o produto matricial, e identificando linhas e não colunas! Beleza?

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é o produto matricial sugerido na questão, temos que:

B R θ = B 11 B 12 B 21 B 22 cos ⁡ ( θ ) - sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) .

Obtemos

B R θ = B 11 cos ⁡ ( θ ) + B 12 sin ⁡ θ - B 11 sin ⁡ θ + B 12 cos ⁡ θ B 21 cos ⁡ ( θ ) + B 22 sin ⁡ ( θ ) - B 21 sin ⁡ θ + B 22 cos ⁡ ( θ )           ( 1 ) .

Mas como vamos utilizar isso para verificar o que se pede no enunciado? Saca só!

Passo 3

Se considerarmos que as colunas da matriz quadrada B são vetores da forma:

B 1 = B 11 B 21 .

E

B 2 = B 12 B 22 .

As linhas serão as transpostas, ou seja:

B 1 t = B 11       B 21

E também:

B 2 t = B 12       B 22

Agora, temos um problema! Como as transpostas são matrizes 1 × 2 , não podemos aplicar uma rotação nelas da maneira que fizemos anteriormente. Mas saca só o que podemos fazer!

Passo 4

Vamos escrever uma matriz B t :

B t = B 11 t B 12 t B 21 t B 22 t = B 11 B 21 B 12 B 22

Vamos rotacionar os vetores formados pelas colunas desta matriz!

Passo 5

Para o primeiro vetor temos:

R - θ B 1 t = cos ⁡ - θ - sin ⁡ - θ sin ⁡ - θ cos ⁡ - θ B 11 B 12

Aplicando o produto matricial, temos:

R - θ B 1 t = cos ⁡ ( - θ ) B 11 - sin ⁡ - θ B 12 sin ⁡ ( - θ ) B 11 + cos ⁡ ( - θ ) B 12

Lembrando que sin ⁡ A = - sin ⁡ ( - A ) e que cos ⁡ A = cos ⁡ ( - A ) , temos

R - θ B 1 t = cos ⁡ ( θ ) B 11 + sin ⁡ θ B 12 - sin ⁡ ( θ ) B 11 + cos ⁡ ( θ ) B 12           ( 2 )

Vamos fazer o outro vetor agora!

Passo 6

E para o segundo vetor, temos:

R - θ B 2 t = cos ⁡ - θ - sin ⁡ - θ sin ⁡ - θ cos ⁡ - θ B 21 B 22

Ou seja,

R - θ B 2 t = cos ⁡ ( θ ) B 21 + sin ⁡ θ B 22 - sin ⁡ ( θ ) B 21 + cos ⁡ ( θ ) B 22           ( 3 )

O que nós obtemos foi a rotação das transpostas das linhas de B , saca só a seguinte propriedade do produto matricial!

Passo 7

A transposta de um produto matricial é o seguinte:

R - θ B t t = B t t R - θ t = B R - θ t           ( 4 )

Vamos fazer este produto!

B R - θ t = B 11 B 12 B 21 B 22 cos ⁡ - θ sin ⁡ - θ - sin ⁡ - θ cos ⁡ - θ →

→ cos ⁡ - θ B 11 - sin ⁡ ( - θ ) B 12 sin ⁡ ( - θ ) B 11 + cos ⁡ - θ B 12 cos ⁡ - θ B 21 - sin ⁡ - θ B 22 sin ⁡ - θ B 21 + cos ⁡ - θ B 22 →

→ cos ⁡ θ B 11 + sin ⁡ ( θ ) B 12 - sin ⁡ ( θ ) B 11 + cos ⁡ ( θ ) B 12 cos ⁡ θ B 21 + sin ⁡ θ B 22 - sin ⁡ θ B 21 + cos ⁡ θ B 22

Ou seja, como este resultado é equivalente a equação (1), e isto é equivalente a rotação das linhas da matriz B , como vemos nas equações (2) e (3) e utilizando a propriedade matricial (4), a afirmação está verificada! Bora para a próxima alternativa!

Resposta

Ao longo dos passos

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Encontre o ponto P , se as coordenadas de P em relação ao sistema de coordenadas S , [ P ] S , são:a) [ P ] S = ( 2,1 ) , em que S = { O , ( - 1 / 2 , 1 / 2 ) , ( 1 / 2 , 1 / 2 ) } .
Considere o plano π : 3 x - 3 y + 2 z = 0 .c) Determine as coordenadas dos vetores i → , j →ek → no sistema { O , U 1 , U 2 , U 3 } .
Seja B uma matriz quadrada 2 × 2 .a) Verifique que R θ B é a matriz obtida girando as colunas de B de θ .
Considere o plano π : 3 x - 3 y + 2 z = 0 .c) Determine as coordenadas dos vetores i → , j →ek → no sistema { O , U 1 , U 2 , U 3 } .
Mostre quea) R_theta_1 R_theta_2 = R_theta_1 + theta_2 .