Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.4 - Ex. 8b
Seja uma matriz quadrada .
b) Verifique que é a matriz obtida girando as linhas de de .
Passo 1
Vamos fazer algo bem parecido com a alternativa anterior, mas agora invertendo o produto matricial, e identificando linhas e não colunas! Beleza?
Passo 2
A primeira coisa que podemos fazer é o produto matricial sugerido na questão, temos que:
Obtemos
Mas como vamos utilizar isso para verificar o que se pede no enunciado? Saca só!
Passo 3
Se considerarmos que as colunas da matriz quadrada são vetores da forma:
E
As linhas serão as transpostas, ou seja:
E também:
Agora, temos um problema! Como as transpostas são matrizes , não podemos aplicar uma rotação nelas da maneira que fizemos anteriormente. Mas saca só o que podemos fazer!
Passo 4
Vamos escrever uma matriz :
Vamos rotacionar os vetores formados pelas colunas desta matriz!
Passo 5
Para o primeiro vetor temos:
Aplicando o produto matricial, temos:
Lembrando que e que , temos
Vamos fazer o outro vetor agora!
Passo 6
E para o segundo vetor, temos:
Ou seja,
O que nós obtemos foi a rotação das transpostas das linhas de , saca só a seguinte propriedade do produto matricial!
Passo 7
A transposta de um produto matricial é o seguinte:
Vamos fazer este produto!
Ou seja, como este resultado é equivalente a equação (1), e isto é equivalente a rotação das linhas da matriz , como vemos nas equações (2) e (3) e utilizando a propriedade matricial (4), a afirmação está verificada! Bora para a próxima alternativa!
Resposta
Ao longo dos passos