Mostre que

b) R_(theta)^(- 1) = R_- theta .

Passo 1

Nesta alternativa vamos utilizar novamente a definição de rotação apresentada na alternativa anterior, beleza? Só que agora precisamos lembrar do que define uma inversa! É o seguinte:

R_(theta)^(- 1) R_theta = I

Em que I é a matriz identidade com mesma dimensão que sua rotação, beleza? Vamos verificar o que acontece quando fazemos o produto R_theta R_- theta .

Passo 2

Temos utilizando a definição apresentada anteriormente que:

R_- theta = [[[cos ( - theta ),-,sin ( - theta )],[sin ( - theta ),cos ( - theta )]]] .

E, portanto, temos:

R_theta R_- theta = [[[cos ( theta ),-,sin ( theta )],[sin ( theta ),cos ( theta )]]] [[[cos ( - theta ),-,sin ( - theta )],[sin ( - theta ),cos ( - theta )]]]

Se isso resultar na identidade, demonstramos o que o enunciado nos pede, beleza?

Passo 3

Realizando o produto matricial, temos:

R_theta R_- theta = [[[cos ( theta ),cos ( - theta ),-,sin (theta),sin ( - theta ),-,cos (theta),sin (- theta),-,sin (theta) cos ( - theta )],[sin ( theta ),cos ( - theta ),+,cos (theta) sin ( - theta ),- sin ( theta ),sin ( - theta ),+,cos (theta) cos ( - theta )]]]

Como temos que

sin (A) = - sin (- A)

E também que

cos (A) = cos ( - A )

A nossa matriz fica da seguinte forma:

R_theta R_- theta = [[[cos^2 ( theta ),+,sin^2 (theta),0],[0,sin^2 ( theta ),+,cos^2 (theta)]]]

Agora vamos reescrever isso um pouquinho!

Passo 4

Como temos que

sin^2 theta + cos^2 theta = 1

Está demonstrado que

R_theta R_- theta = [[[1,0],[0,1]]] = I

E, portanto:

R_(theta)^(- 1) = R_- theta

A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos

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