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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 23

23. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o wronskiano para mostrar que o conjunto de vetores dado é linearmente independente.

(a) 1 ,   x ,   e x (b) 1 ,   x ,   x 2

Passo 1

Para resolvermos nosso problema vamos usar o teste do wronskiano para mostrar que o conjunto de vetores dado é linearmente independente.

Mas o que é o wronskiano?

W x = f 1 x f 2 x … f n x f 1 ´ x f 2 ´ x … f n ´ x ⋮ ⋮ ⋮ ⋮           f 1 ( n - 1 ) x         f 2 ( n - 1 ) x …       f n ( n - 1 ) x

Que é esse determinante que depende das funções e suas ( n - 1 ) derivadas.

Logo o teorema 4.3.4 da 10° edição do livro, nos diz:

Se as funções   f 1 ,     f 2 …   f n tiverem n - 1 derivadas continuas no intervalo ( - ∞ , ∞ ) e se o wronskiano for ≠ 0 nesse intervalo, então as funções formam um conjunto linearmente independente.

(a) 1 ,   x ,   e x

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções f 1 x = 1 e f 2 x = x f 3 x = e x . Como temos três funções ( n = 3 ) vamos ter n - 1 = 2 , logo vamos ter apenas a primeira e a segunda derivada.

d f 1 x d x = d d x 1 = 0       ;       d 2 f 1 x d x 2 =   d d x d d x = d d x 0 = 0                              

d f 2 x d x = d d x x = 1       ;         d 2 f 2 x d x 2 =   d d x d d x = d d x 1 = 0                                      

d f 3 x d x = d d x e x = e x       ;         d 2 f 3 x d x 2 =   d d x d d x = d d x e x = e x                                      

Passo 2

Agora vamos resolver o wronskiano:

Observe que a matriz é do tipo triangular , logo seu determinante é o produto da diagonal.

W x = 1 x e x 0 1 e x 0 0 e x = 1   ⋅ 1 ⋅ e x = e x    

Logo como: e x ≠ 0 em algum x

Mostrando que as funções formam um conjunto linearmente independente.

Passo 3

(b) 1 ,   x ,   x 2

Vamos fazer o mesmo processo que no item (a). observe:

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções f 1 x = 1 e f 2 x = x f 3 x = x 2 . Como temos três funções ( n = 3 ) vamos ter n - 1 = 2 , logo vamos ter apenas a primeira e a segunda derivada.

d f 1 x d x = d d x 1 = 0       ;       d 2 f 1 x d x 2 =   d d x d d x = d d x 0 = 0                              

d f 2 x d x = d d x x = 1       ;         d 2 f 2 x d x 2 =   d d x d d x = d d x 1 = 0                                      

d f 3 x d x = d d x x 2 = 2 x       ;         d 2 f 3 x d x 2 =   d d x d d x = d d x 2 x = 2                                      

Passo 4

Agora vamos resolver o wronskiano:

Observe que a matriz é do tipo triangular , logo seu determinante é o produto da diagonal.

W x = 1 x x 2 0 1 2 x 0 0 2 = 1   ⋅ 1 ⋅ 2 = 2    

Logo como: 2 ≠ 0 para qualquer x

Mostrando que as funções formam um conjunto linearmente independente.

Resposta

(a) W x = e x ≠ 0

(b)   W x = 2 ≠ 0

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