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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 21

21. As funções f 1 x = x e f 2 x = cos ⁡ x são linearmente independentes em F ( - ∞ , ∞ ) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. Confirme a independência linear usando o teste do wronskiano.

Passo 1

Para resolvermos nosso problema vamos usar o teste do wronskiano para confirmar a independência linear das funções.

Mas o que é o wronskiano?

W x = f 1 x f 2 x … f n x f 1 ´ x f 2 ´ x … f n ´ x ⋮ ⋮ ⋮ ⋮           f 1 ( n - 1 ) x         f 2 ( n - 1 ) x …       f n ( n - 1 ) x

Que é esse determinante que depende das funções e suas ( n - 1 ) derivadas.

Logo o teorema 4.3.4 da 10° edição do livro, nos diz:

Se as funções   f 1 ,     f 2 …   f n tiverem n - 1 derivadas continuas no intervalo ( - ∞ , ∞ ) e se o wronskiano for ≠ 0 nesse intervalo, então as funções formam um conjunto linearmente independente.

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções f 1 x = x e f 2 x = cos ⁡ x . Como só temos duas funções ( n = 2 ) vamos ter n - 1 = 1 , logo vamos ter apenas a primeira derivada.

d f 1 x d x = d d x x = 1

d f 2 x d x = d d x cos ⁡ x = - sen ⁡ x

Passo 2

Agora vamos resolver o wronskiano:

W x = x cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x = x ⋅ - sen ⁡ x - ( 1 ⋅ cos ⁡ x )

= - x sen ⁡ x - cos ⁡ x

Logo - x sen ⁡ x - cos ⁡ x ≠ 0 em algum x

EX:

W 0 = - cos ⁡ 0 = - 1

Mostrando que as funções formam um conjunto linearmente independente.

Resposta

- x sen ⁡ x - cos ⁡ x ≠ 0 em algum x

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Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? { 1 , - 2 , 3 , - 1 , - 2 , 4 , - 6 , 2 }
Considere o vetor f 1 = ( 1 2 , 3 2 ) .b) Considere P = ( 3 , 3 ) . Escreva P como combinação linear dos elementos de S .
Sejam S 1 e S 2 subconjuntos finitos do R n tais que S 1 seja um subconjunto de S 2 ( S 1 ≠ S 2 ) . Se S 2 é linearmente dependente, então:a) S 1 pode ser linearmente dependente? Em caso afirmativo dê
Considere o vetor f 1 = ( 1 2 , 3 2 ) .b) Considere P = ( 3 , 3 ) . Escreva P como combinação linear dos elementos de S .
Sejam S 1 e S 2 subconjuntos finitos do R n tais que S 1 seja um subconjunto de S 2 ( S 1 ≠ S 2 ) . Se S 2 é linearmente dependente, então:b) S 1 pode ser linearmente independente? Em caso afirmativo