Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 32
32. Mostre que os autovalores de uma matriz anti-hermitiana são ou nulos ou imaginários puros.
Passo 1
Bem... já foi feito no exercício 28 que os termos da diagonal principa de uma matriz anti-hermitiana ou são zero ou são imaginários puros.
Vamos separar em dois casos... primeiro o caso em que seja zero:
E a matriz conjugada:
A matriz conjugada transposta:
O polinômio característico fica:
Passo 2
Vamos pegar uma matriz mais simples pra gente ver se tem algo fácil de perceber pra depois generalizar:
E a sua conjugada transposta:
Pra ser anti-hermitiana: (a conjugada transposta dela tem que ser o negativo da matriz original)
Subtraindo uma da outra:
Agora somando:
Passo 3
Sendo então:
O polinômio característico:
Então como e são sempre positivos ou iguais a zero, então também vai ser sempre positivo. E, consequentemente, vai ser sempre negativo. Portanto... vai ser zero ou vai ser imaginário puro.
Passo 4
Para o outro caso, que é quando os termos da diagonal principal são imarinários puros:
E a matriz conjugada:
A matriz conjugada transposta:
O polinômio característico fica:
Passo 5
Vamos pegar uma matriz mais simples pra gente ver se tem algo fácil de perceber pra depois generalizar:
E a sua conjugada transposta:
Pra ser anti-hermitiana: (a conjugada transposta dela tem que ser o negativo da matriz original)
Subtraindo uma da outra:
Agora somando:
Passo 6
Sendo então:
O polinômio característico:
Vamos analiser o que tem dentro da raiz:
Tudo que está elevado ao quadrado vai ser sempre positivo ou zero... Então vai ser um número imaginário mesmo...
Então podemos concluir que ou é igual a zero ou é imaginário puro.
Resposta
Autovalores iguais a zero ou imaginário puro.