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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 34

34. Motre que se u for um vetor não nulo em C n , escrito em forma de coluna, então P = u u * é uma matriz hermitiana.

Passo 1

Vamos chamar:

u = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i ⋮ a n + b n i  

Então:

u * = a 1 - b 1 i a 2 - b 2 i … a n - b n i

Agora podemos montar a matriz P :

P = u u * = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i ⋮ a n + b n i a 1 - b 1 i a 2 - b 2 i … a n - b n i

P = a 1 + b 1 i a 1 - b 1 i a 1 + b 1 i a 2 - b 2 i … a 1 + b 1 i a n - b n i a 2 + b 2 i a 1 - b 1 i a 2 + b 2 i a 2 - b 2 i … a 2 + b 2 i a n - b n i ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n + b n i a 1 - b 1 i a n + b n i a 2 - b 2 i … a n + b n i a n - b n i

Dando uma mexidinha:

P = a 1 2 + b 1 2 a 1 + b 1 i a 2 - b 2 i … a 1 + b 1 i a n - b n i a 2 + b 2 i a 1 - b 1 i a 1 2 + b 1 2 … a 2 + b 2 i a n - b n i ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n + b n i a 1 - b 1 i a n + b n i a 2 - b 2 i … a 1 2 + b 1 2

Bom... já conseguimos identificar que P é hermitiana porque as entradas na diagonal princial são números reais e a imagem espelhada de cada entrada, em relação à diagonal principal, é o complexo conjugado da entrada.

Resposta

P é hermitiana.

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Seja A uma matriz n × n de posto 1 . Mostre que(a) A 2 = ( t r ( A ) ) A .(b) A n = ( t r ( A ) ) n - 1 A , n = 2,3 ,. . . .(Sugestão: use o exercício anterior)
Discuta como o posto de A varia com t .(a) A = ⎜1 1 t⎜⎜ ⎜ ⎜1 t 1⎜⎜ ⎜ ⎜t 1 1⎜⎜ ⎜(b) A = ⎜ t 3 - 1⎜⎜ ⎜ ⎜36 - 2 ⎜⎜ ⎜ ⎜ - 1 - 3 - t⎜⎜ ⎜
Dê exemplos de transformações lineares T : R 3 → R 3 tais que(a) N ( T ) = { ( x , y , z )∈ R 3 | z = - x } ,(b) I ( T ) = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x = y } .
Defina T : P n → P n por T ( p ) = p + p ' . Mostre que T é um isomorfismo.