34. Motre que se u for um vetor não nulo em C n , escrito em forma de coluna, então P = u u * é uma matriz hermitiana.

Passo 1

Vamos chamar:

u = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i ⋮ a n + b n i  

Então:

u * = a 1 - b 1 i a 2 - b 2 i … a n - b n i

Agora podemos montar a matriz P :

P = u u * = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i ⋮ a n + b n i a 1 - b 1 i a 2 - b 2 i … a n - b n i

P = a 1 + b 1 i a 1 - b 1 i a 1 + b 1 i a 2 - b 2 i … a 1 + b 1 i a n - b n i a 2 + b 2 i a 1 - b 1 i a 2 + b 2 i a 2 - b 2 i … a 2 + b 2 i a n - b n i ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n + b n i a 1 - b 1 i a n + b n i a 2 - b 2 i … a n + b n i a n - b n i

Dando uma mexidinha:

P = a 1 2 + b 1 2 a 1 + b 1 i a 2 - b 2 i … a 1 + b 1 i a n - b n i a 2 + b 2 i a 1 - b 1 i a 1 2 + b 1 2 … a 2 + b 2 i a n - b n i ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n + b n i a 1 - b 1 i a n + b n i a 2 - b 2 i … a 1 2 + b 1 2

Bom... já conseguimos identificar que P é hermitiana porque as entradas na diagonal princial são números reais e a imagem espelhada de cada entrada, em relação à diagonal principal, é o complexo conjugado da entrada.

Resposta

P é hermitiana.

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