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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 32.b

32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).

(a) 1 + x + 4 x 2

(b) 2 - 7 x 2

(c) 4 + 3 x

Passo 1

Os três primeiros polinômios de Legendre:

v 1 = 1

v 2 = x

v 3 = 1 2 3 x 2 - 1

E usando o Teorema :

u = u ⋅ v 1 v 1 2 v 1 + u ⋅ v 2 v 2 2 v 2 + u ⋅ v 3 v 3 2 v 3

E vamos usar a formula de produto notável quando é polinômio:

u ⋅ v = ∫ 0 1 u x v x d x  

Passo 2

(b) u = 2 - 7 x 2

Fazendo os produtos internos:

u ⋅ v 1 = ∫ 0 1 2 - 7 x 2 1 d x

u ⋅ v 1 = ∫ 0 1 2 - 7 x 2 d x

u ⋅ v 1 = 2 x - 7 x 3 3 0 1

u ⋅ v 1 = 2 - 7 3

u ⋅ v 1 = - 1 3

u ⋅ v 2 = ∫ 0 1 2 - 7 x 2 x d x

u ⋅ v 2 = ∫ 0 1 2 x - 7 x 3 d x

u ⋅ v 2 = x 2 - 7 x 4 4 0 1

u ⋅ v 2 = 1 - 7 4  

u ⋅ v 2 = - 3 4

u ⋅ v 3 = ∫ 0 1 2 - 7 x 2 1 2 3 x 2 - 1 d x

u ⋅ v 3 = ∫ 0 1 3 x 3 - 1 - 21 x 4 2 + 7 x 2 2 d x

u ⋅ v 3 = 3 x 4 4 - x - 21 x 5 10 + 7 x 3 6 0 1

u ⋅ v 3 = 3 4 - 1 - 21 10 + 7 6

u ⋅ v 3 = 71 60

Passo 3

Calculando as normas:

v 1 2 = ∫ 0 1 1 1 d x

v 1 2 = x 0 1

v 1 2 = 1

v 2 2 = ∫ 0 1 x x d x

v 2 2 = ∫ 0 1 x 2 d x

v 2 2 = x 3 3 0 1

v 2 2 = 1 3

v 3 2 = ∫ 0 1 1 2 3 x 2 - 1 1 2 3 x 2 - 1 d x

v 3 2 = ∫ 0 1 1 4 9 x 4 - 6 x 2 + 1 d x

v 3 2 = 1 4 9 x 5 5 - 2 x 3 + x 0 1

v 3 2 = 1 4 9 5 - 2 + 1

v 3 2 = 1 5

Passo 4

Agora colocando na fórmula do teorema:

u = u ⋅ v 1 v 1 2 v 1 + u ⋅ v 2 v 2 2 v 2 + u ⋅ v 3 v 3 2 v 3

u = - 1 3 1 1 + - 3 4 1 3 x + 71 60 1 5 1 2 3 x 2 - 1

u = - 1 3 1 - 9 4 x + 71 12 1 2 3 x 2 - 1

Resposta

u = - 1 3 1 - 9 4 x + 71 12 1 2 3 x 2 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

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30. No passo 3 da prova do Teorema 6.3.5, foi afirmado que “a independência linear de { u 1 , u 2 , … ,u n } garante que v 3 ≠ 0 ”. Prove essa afirmação.
31. Prove as entradas na diagonal de R na fórmula (15) são não nulas.
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