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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 29.d

29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.

(a) 1 - 1 2 3

(b) 1 2 0 1 1 4

(c) 1 1 - 2 1 2 1

(d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0

(e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1

(f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1

Passo 1

(d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0

Vamos calcular:

det ⁡   1 0 2 0 1 1 1 2 0 = 1 1 0 + 0 1 1 + 2 0 2 - 1 1 2 - 2 1 1 - 0

det ⁡   1 0 2 0 1 1 1 2 0 = - 4

Como a matriz é quadrada e o determinante é diferente de zero, então a matriz é invertível e, portanto, tem decompsição Q R .

Pegando os vetores coluna pra gente aplicar o processinho depois:

u 1 = 1,0 , 1

u 2 = 0,1 , 2

u 3 = 2,1 , 0

Passo 2

Aplicando processo de Grand schmidt:

Fazendo:

v 1 = u 1

v 1 = 1,0 , 1

- Para achar v 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = 0 1 + 1 0 + 2 1

u 2 ⋅ v 1 = 2

Calculando a norma de v 1 :

v 1 = 1 2 + 0 2 + 1 2

v 1 = 2

Então:

v 2 = 0,1 , 2 - 2 2 1,0 , 1

v 2 = 0,1 , 2 - 1,0 , 1

v 2 = - 1,1 , 1

- Para achar v 3 :

v 3 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Fazendo os produtos interno:

u 3 ⋅ v 1 = 2 1 + 1 0 + 0 1

u 3 ⋅ v 1 = 2

u 3 ⋅ v 2 = 2 - 1 + 1 1 + 0 1

u 3 ⋅ v 2 = - 1

Calculando a norma de v 2 :

v 2 = - 1 2 + 1 2 + 1 2

v 2 = 3

Então:

v 3 = 2,1 , 0 - 2 2 1,0 , 1 - - 1 3 - 1,1 , 1

v 3 = 2,1 , 0 - 1,0 , 1 + 1 3 - 1,1 , 1

v 3 = 2 3 , 4 3 , - 2 3

Passo 3

Agora precisamos normalizar:

Mas antes, calculando a norma de v 3 :

v 3 = 2 3 2 + 4 3 2 + 2 3 2

v 3 = 24 9

v 3 = 2 3 6

Os vetores normalizados ficam:

q 1 = v 1 v 1

q 1 = 1 2 , 0 , 1 2  

q 2 = v 2 v 2

q 2 = - 1 3   , 1 3 , 1 3

q 3 = v 3 v 3

q 3 = 2 3 2 3 6 , 4 3 2 3 6 , 2 3 2 3 6

q 3 = 1 6 , 2 6 , 1 6

Passo 4

A decomposição Q R da matriz é (pela fórmula):

1 0 2 0 1 1 1 2 0 = q 1 q 2 q 3 u 1 ⋅ q 1 u 2 ⋅ q 1 u 3 ⋅ q 1 0 u 2 ⋅ q 2 u 3 ⋅ q 2 0 0 u 3 ⋅ q 3

Fazendo esses benditos produtos internos:

u 1 ⋅ q 1 = 1 1 2 + 0 0 + 1 1 2

u 1 ⋅ q 1 = 2 2

u 2 ⋅ q 1 = 0 1 2 + 1 0 + 2 1 2

u 2 ⋅ q 1 = 2 2

u 3 ⋅ q 1 = 2 1 2 + 1 0 + 0 1 2

u 3 ⋅ q 1 = 2 2

u 2 ⋅ q 2 = 0 - 1 3 + 1 1 3 + 2 1 3

u 2 ⋅ q 2 = 3 3

u 3 ⋅ q 2 = 2 - 1 3 + 1 1 3 + 0 1 3

u 2 ⋅ q 3 = - 1 3

u 3 ⋅ q 3 = 2 1 6 + 1 2 6 + 0 1 6

u 3 ⋅ q 3 = 4 6

Então:

1 0 2 0 1 1 1 2 0 = 1 2 - 1 3 1 6 0 1 3 2 6 1 2 1 3 1 6 2 2 2 2 2 2 0 3 3 - 1 3 0 0 4 6

Resposta

Q R = 1 2 - 1 3 1 6 0 1 3 2 6 1 2 1 3 1 6 2 2 2 2 2 2 0 3 3 - 1 3 0 0 4 6

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