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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 32.a

32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).

(a) 1 + x + 4 x 2

(b) 2 - 7 x 2

(c) 4 + 3 x

Passo 1

Os três primeiros polinômios de Legendre:

v 1 = 1

v 2 = x

v 3 = 1 2 3 x 2 - 1

E usando o Teorema :

u = u ⋅ v 1 v 1 2 v 1 + u ⋅ v 2 v 2 2 v 2 + u ⋅ v 3 v 3 2 v 3

E vamos usar a formula de produto notável quando é polinômio:

u ⋅ v = ∫ 0 1 u x v x d x  

Passo 2

(a) u = 1 + x + 4 x 2

Fazendo os produtos internos:

u ⋅ v 1 = ∫ 0 1 1 + x + 4 x 2 1 d x

u ⋅ v 1 = ∫ 0 1 1 + x + 4 x 2 d x

u ⋅ v 1 = x + x 2 2 + 4 x 3 3 0 1

u ⋅ v 1 = 17 6

u ⋅ v 2 = ∫ 0 1 1 + x + 4 x 2 x d x

u ⋅ v 2 = ∫ 0 1 x + x 2 + 4 x 3 d x

u ⋅ v 2 = x 2 2 + x 3 3 + x 4 0 1

u ⋅ v 2 = 1 2 + 1 3 + 1  

u ⋅ v 2 = 11 6

u ⋅ v 3 = ∫ 0 1 1 + x + 4 x 2 1 2 3 x 2 - 1 d x

u ⋅ v 3 = ∫ 0 1 - 1 2 + 3 x 3 2 - x 2 + 6 x 4 - x 2 2 d x

u ⋅ v 3 = - x 2 + 3 x 4 8 - x 2 4 + 6 x 5 5 - x 3 6 0 1

u ⋅ v 3 = - 1 2 + 3 8 - 1 4 + 6 5 - 1 6

u ⋅ v 3 = 79 120

Passo 3

Calculando as normas:

v 1 2 = ∫ 0 1 1 1 d x

v 1 2 = x 0 1

v 1 2 = 1

v 2 2 = ∫ 0 1 x x d x

v 2 2 = ∫ 0 1 x 2 d x

v 2 2 = x 3 3 0 1

v 2 2 = 1 3

v 3 2 = ∫ 0 1 1 2 3 x 2 - 1 1 2 3 x 2 - 1 d x

v 3 2 = ∫ 0 1 1 4 9 x 4 - 6 x 2 + 1 d x

v 3 2 = 1 4 9 x 5 5 - 2 x 3 + x 0 1

v 3 2 = 1 4 9 5 - 2 + 1

v 3 2 = 1 5

Passo 4

Agora colocando na fórmula do teorema:

u = u ⋅ v 1 v 1 2 v 1 + u ⋅ v 2 v 2 2 v 2 + u ⋅ v 3 v 3 2 v 3

u = 17 6 1 1 + 11 6 1 3 x + 79 120 1 5 1 2 3 x 2 - 1

u = 17 6 1 + 11 2 x + 79 24 1 2 3 x 2 - 1

Resposta

u = 17 6 1 + 11 2 x + 79 24 1 2 3 x 2 - 1

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29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
33. (Requer Cálculo) Suponha que P 2 tenha o produto interno p , q = ∫ 0 1 p x q x d x Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base canônica S = { 1 , x , x 2 } numa base ortonormal.
34. Encontre vetores x e y em R 2 que sejam ortonormais em relação ao produto interno u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 mas não em relação ao produto interno euclidiano.
Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de R 4 que tem como base 1 ,1 ,- 1 ,0 , 0 ,2 ,0 ,1 , - 1 ,0 ,0 ,1 .
Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar a do R 3 1 ,1 ,1 , 0 ,1 ,1 , 1 ,2 ,3 em uma base ortonormal do R 3