30. No passo 3 da prova do Teorema 6.3.5, foi afirmado que “a independência linear de { u 1 , u 2 , … ,   u n } garante que v 3 ≠ 0 ”. Prove essa afirmação.

Passo 1

Vamos começar considerando:

v 3 = 0

E usando a fórmula: (que, inclusive, está errada lá no meio do capítulo, mas é só um detalhe)

v 3 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Então:

0 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

u 3 = u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 + u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

E isso indicaria que u 3 é combinação linear de u 1 e u 2 , contradizendo a independência linear da base.

Resposta

E isso indicaria que u 3 é combinação linear de u 1 e u 2 , contradizendo a independência linear da base.

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