Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 31
31. Prove as entradas na diagonal de R na fórmula (15) são não nulas.
Passo 1
Como:
Vamos usar determinantes.
Lembrando que:
E podemos fazer:
Passo 2
Vamos reparar que é uma matriz triângular superior. E uma propriedade dela é que o determinante é somente a multiplicação dos termos na diagonal principal.
Vamos supor que exista pelo menos um termo igual a zero na diagonal princial, então:
E isso implicaria em:
E se , então não é invertível e, portanto, não haverá decomposição .
Portanto, tadas as entradas da diagonal principal de são não nulas.
Resposta
Portanto, tadas as entradas da diagonal principal de são não nulas.
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