31. Prove as entradas na diagonal de R na fórmula (15) são não nulas.

Passo 1

Como:

A = Q R

Vamos usar determinantes.

Lembrando que:

det ⁡ ( A ) = det ⁡ Q R

E podemos fazer:

det ⁡ ( A ) = det ⁡ Q det ⁡ R

Passo 2

Vamos reparar que R é uma matriz triângular superior. E uma propriedade dela é que o determinante é somente a multiplicação dos termos na diagonal principal.

Vamos supor que exista pelo menos um termo igual a zero na diagonal princial, então:

det ⁡ R = 0

E isso implicaria em:

det ⁡ ( A ) = det ⁡ Q 0

det ⁡ ( A ) = 0

E se det ⁡ A = 0 , então A não é invertível e, portanto, não haverá decomposição Q R .

Portanto, tadas as entradas da diagonal principal de R são não nulas.

Resposta

Portanto, tadas as entradas da diagonal principal de R são não nulas.

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