Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 32.c

32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).

(a) 1 + x + 4 x 2

(b) 2 - 7 x 2

(c) 4 + 3 x

Passo 1

Os três primeiros polinômios de Legendre:

v 1 = 1

v 2 = x

v 3 = 1 2 3 x 2 - 1

E usando o Teorema :

u = u ⋅ v 1 v 1 2 v 1 + u ⋅ v 2 v 2 2 v 2 + u ⋅ v 3 v 3 2 v 3

E vamos usar a formula de produto notável quando é polinômio:

u ⋅ v = ∫ 0 1 u x v x d x  

Passo 2

(b) u = 2 - 7 x 2

Fazendo os produtos internos:

u ⋅ v 1 = ∫ 0 1 4 + 3 x 1 d x

u ⋅ v 1 = ∫ 0 1 4 + 3 x d x

u ⋅ v 1 = 4 x + 3 x 2 2 0 1

u ⋅ v 1 = 4 + 3 2

u ⋅ v 1 = 11 2

u ⋅ v 2 = ∫ 0 1 4 + 3 x x d x

u ⋅ v 2 = ∫ 0 1 4 x + 3 x 2 d x

u ⋅ v 2 = 2 x + x 3 0 1

u ⋅ v 2 = 2 + 1    

u ⋅ v 2 = 3

u ⋅ v 3 = ∫ 0 1 4 + 3 x 1 2 3 x 2 - 1 d x

u ⋅ v 3 = ∫ 0 1 6 x 2 - 2 + 9 x 3 2 - 3 x 2 d x

u ⋅ v 3 = 2 x 3 - 2 x + 9 x 4 2 - 3 x 2 4 0 1

u ⋅ v 3 = 2 - 2 + 9 2 - 3 4

u ⋅ v 3 = 15 4

Passo 3

Calculando as normas:

v 1 2 = ∫ 0 1 1 1 d x

v 1 2 = x 0 1

v 1 2 = 1

v 2 2 = ∫ 0 1 x x d x

v 2 2 = ∫ 0 1 x 2 d x

v 2 2 = x 3 3 0 1

v 2 2 = 1 3

v 3 2 = ∫ 0 1 1 2 3 x 2 - 1 1 2 3 x 2 - 1 d x

v 3 2 = ∫ 0 1 1 4 9 x 4 - 6 x 2 + 1 d x

v 3 2 = 1 4 9 x 5 5 - 2 x 3 + x 0 1

v 3 2 = 1 4 9 5 - 2 + 1

v 3 2 = 1 5

Passo 4

Agora colocando na fórmula do teorema:

u = u ⋅ v 1 v 1 2 v 1 + u ⋅ v 2 v 2 2 v 2 + u ⋅ v 3 v 3 2 v 3

u = 11 2 1 1 + 3 1 3 x + 15 4 1 5 1 2 3 x 2 - 1

u = 11 2 1 + 9 x + 75 4 1 2 3 x 2 - 1

Resposta

u = 11 2 1 + 9 x + 75 4 1 2 3 x 2 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1