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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 29.b

29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.

(a) 1 - 1 2 3

(b) 1 2 0 1 1 4

(c) 1 1 - 2 1 2 1

(d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0

(e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1

(f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1

Passo 1

(b) 1 2 0 1 1 4

Não é uma matriz quadrada, então não vale o bizu de calcular só o determinante e ser diferente de zero...

Maaassss, como dica, podemos pegar uma das maiores matrizes quadradas que tem dentro da matriz:

1 2 0 1 ou 0 1 1 4

Bem.. o determinante das duas matrizes vai ser diferente de zero, então as colunas são linearmente independentes. Portante, tem decomposição Q R .

Pegando os vetores coluna pra gente aplicar o processinho depois:

u 1 = 1 , 0,1

u 2 = 2,1 , 4

Passo 2

Aplicando processo de Grand schmidt:

Fazendo:

v 1 = u 1

v 1 = 1,0 , 1

Pra achar v 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = 2 1 + 1 0 + 4 1

u 2 ⋅ v 1 = 6

Calculando a norma de v 1 :

v 1 = 1 2 + 0 2 + 1 2

v 1 = 2

Então:

v 2 = 2,1 , 4 - 6 2 1,0 , 1

v 2 = 2,1 , 4 - 3 1,0 , 1

v 2 = - 1,1 , 1

Passo 3

Agora precisamos normalizar:

Mas antes, calculando a norma de v 2 :

v 2 = - 1 2 + 1 2 + 1 2

v 2 = 3

Os vetores normalizados ficam:

q 1 = v 1 v 1

q 1 = 1 2 , 0 , 1 2  

q 2 = v 2 v 2

q 2 = - 1 3 , 1 3 , 1 3

Passo 4

A decomposição Q R da matriz é (pela fórmula):

1 2 0 1 1 4 = q 1 q 2 u 1 ⋅ q 1 u 2 ⋅ q 1 0 u 2 ⋅ q 2

Fazendo esses benditos produtos internos:

u 1 ⋅ q 1 = 1 1 2 + 0 0 + 1 1 2

u 1 ⋅ q 1 = 2 2

u 2 ⋅ q 1 = 2 1 2 + 1 0 + 4 1 2

u 2 ⋅ q 1 = 6 2

u 2 ⋅ q 2 = 2 - 1 3 + 1 1 3 + 4 1 3

u 2 ⋅ q 2 = 3 3

Então:

1 2 0 1 1 4 = 1 2 - 1 3 0 1 3 1 2 1 3 2 2 6 2 0 3 3

Resposta

Q R = 1 2 - 1 3 0 1 3 1 2 1 3 2 2 6 2 0 3 3

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