Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 29.c

29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Passo 1

(c)

Não é uma matriz quadrada, então não vale o bizu de calcular só o determinante e ser diferente de zero...

Maaassss, como dica, podemos pegar uma das maiores matrizes quadradas que tem dentro da matriz:

ou

Bem.. o determinante das duas matrizes vai ser diferente de zero, então as colunas são linearmente independentes. Portante, tem decomposição .

Pegando os vetores coluna pra gente aplicar o processinho depois:

Passo 2

Aplicando processo de Grand schmidt:

Fazendo:

Pra achar :

Fazendo o produto interno:

Calculando a norma de :

Então:

Passo 3

Agora precisamos normalizar:

Mas antes, calculando a norma de :

Os vetores normalizados ficam:

Passo 4

A decomposição da matriz é (pela fórmula):

Fazendo esses benditos produtos internos:

Então:

Resposta

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33. (Requer Cálculo) Suponha que P 2 tenha o produto interno p , q = ∫ 0 1 p x q x d x Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base canônica S = { 1 , x , x 2 } numa base ortonormal.

34. Encontre vetores x e y em R 2 que sejam ortonormais em relação ao produto interno u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 mas não em relação ao produto interno euclidiano.

Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de R 4 que tem como base 1 ,1 ,- 1 ,0 , 0 ,2 ,0 ,1 , - 1 ,0 ,0 ,1 .

Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar a do R 3 1 ,1 ,1 , 0 ,1 ,1 , 1 ,2 ,3 em uma base ortonormal do R 3

Sejam V 1 , … ,V k vetores linearmente dependentes. Mostre que, aplicando-se o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores V 1 ,… ,V k , se obtém um vetor W i que é nulo, para algum i = 1