Enunciado

42. Se a matriz A de tamanho n x n pode ser expressa como A = L U , em que L é uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior, então o sistema A x = b pode ser expresso como L U x = b e pode ser, portanto, resolvido em dois passos, como segue.

Passo 1

a)

1 0 0 - 2 3 0 2 4 1 2 - 1 3 0 1 2 0 0 4 x 1 x 2 x 3 = 1 - 2 0

Como o exercício nos diz, o primeiro passo é resolver o L y = b , nesse caso:

1 0 0 - 2 3 0 2 4 1 ⋅ y 1 y 2 y 3 = 1 - 2 0

Podemos resolver com as equações nesse caso, pois fica mais fácil:

y 1 = 1 - 2 y 1 + 3 y 2 = - 2 2 y 1 + 4 y 2 + y 3 = 0

Substituindo y 1 na segunda equação:

- 2 1 + 3 y 2 = - 2

3 y 2 = - 2 + 2

y 2 = 0

Agora, substituindo y 1 e y 2 na terceira equação:

2 1 + 4 0 + y 3 = 0

y 3 = - 2

Passo 2

Agora que descobrimos a matriz y , vamos resolver o resto do sistema:

2 - 1 3 0 1 2 0 0 4 x 1 x 2 x 3 = 1 0 - 2

Vamos resolver usando as equações, assim como no passo anterior:

2 x 1 - x 2 + 3 x 3 = 1 x 2 + 2 x 3 = 0 4 x 3 = - 2

Isolando o x 3 na ultima equação:

x 3 = - 2 / 4

x 3 = - 0,5

Substituindo x 3 na segunda equação:

x 2 + 2 - 0.5 = 0

x 2 = 1

Substituindo x 2 e x 3 na primeira equação:

2 x 1 - 1 + 3 - 0,5 = 1

2 x 1 = 1 + 1 + 1,5

x 1 = 3 , 5 / 2

x 1 = 1 , 75

A solução do sistema é:

x 1 x 2 x 3 = 1,75 1 - 0,5

Resposta

x 1 x 2 x 3 = 1,75 1 - 0,5

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