Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.7 - Ex. 42a
42. Se a matriz de tamanho x pode ser expressa como , em que é uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior, então o sistema pode ser expresso como e pode ser, portanto, resolvido em dois passos, como segue.
Passo 1
a)
Como o exercício nos diz, o primeiro passo é resolver o , nesse caso:
Podemos resolver com as equações nesse caso, pois fica mais fácil:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Passo 2
Agora que descobrimos a matriz , vamos resolver o resto do sistema:
Vamos resolver usando as equações, assim como no passo anterior:
Isolando o na ultima equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
A solução do sistema é:
Resposta
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Prove que: c) Se A é equivalente por linhas a B e B é equivalente por linhas a C , então A é equivalente por linhas a C (transitividade);
Prove que: a) Sejam X 1eX 2 soluções do sistema homogêneo A X = 0 . Mostre que α X 1 + β X 2 é solução, para quaisquer escalares αeβ .
Prove que: b) Se A é equivalente por linhas a B , então B é equivalente por linhas a A (simetria);
Prove que: a) Sejam X 1eX 2 soluções do sistema A X = B . Mostre que se α X 1 + β X 2 é solução, para quaisquer escalares αeβ , então B = 0 .(Sugestão: faça α = β = 0 . )
Sejam A uma matriz mxn e B ≠ 0 uma matriz mx1 . a) Mostre que se X 1 é uma solução do sistema A X = B e Y 1 é uma solução do sistema homogêneo associado A X = 0 , então X 1 + Y 1 é solução de A X = B