Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas propostos - Ex. 19
Achar a distância da reta ao plano nos casos:
Passo 1
Antes de qualquer coisa, temos que conferir se a reta e o plano são paralelos ou transversais.
Para isso, vamos encontrar o vetor diretor de e o vetor normal de e verificar o produto escalar entre eles: se for 0, e são paralelos (já que será ortogonal ao vetor que também é ortogonal ao plano); se for diferente de 0, e são transversais ;)
Passo 2
Das equações planares de , temos
Transformando em um parâmetro e colocando em evidência:
Então, um vetor diretor de é .
Agora vamos encontrar o vetor normal de , sabemos que dada uma equação geral de um plano:
O seu vetor normal é dado pelos coeficientes que multiplicam e na sua equação, ou seja, . No nosso caso, a equação do plano é
Então, o vetor normal de é hehe
Passo 3
Agora vamos verificar quanto vale o produto escalar entre o vetor diretor de e o vetor normal de :
Opa, o produto escalar deu 0!! Então a reta e o plano são paralelos!!
Para calcular a distância entre uma reta e um plano, sendo eles paralelos, vamos encontrar um ponto da reta e calcular sua distância até o plano utilizando a fórmula que conhecemos :)
Passo 4
Sabemos que a equação de é
Para encontrarmos um ponto de , basta arbitrarmos um valor para . Por exemplo, se (você pode arbitrar outros valores, no final a distância vai dar a mesma ok?):
E aí temos o ponto
Então já achamos um ponto pertencente a uhuuu! Agora vamos calcular a distância desse ponto até o plano !!
Passo 5
Sabemos que a distância entre um ponto e um plano é dada por
No nosso caso, temos o ponto e o plano , logo, a distância entre eles vai ser
E essa é a distância entre e :D