Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 52b
52. Calcule a distância entre a reta e o plano .
(b)
Passo 1
Fala aii... belezinha??
Nessa questão vamos precisar lembrar que, sendo um vetor diretor da reta e um vetor normal ao plano, então temos duas possibilidades:
- , então é transversal a . Daí temos:
- , que aí temos duas possibilidades dentro dessa possibilidade:
-ou pertence a , então . Pra verificar isso escolhemos um ponto qualquer da reta e verificamos se ele pertence ao plano.
-ou é paralela a , aí essa vai ser a mais complicadinha. Vamos precisar escolher um ponto qualquer da reta e calcular a distância desse ponto até o plano com a fórmula:
Então bora lá fazer essa marmota...
Passo 2
Vamos começar colocando a nossa reta na forma paramétrica.
Repara só que:
E substituindo na outra:
Isso significa que é constante e igual a 1, beleza?
Então vamos brincar de parâmetro só com e . Chamando:
Daí vamos ter:
E a equação paramétrica fica:
Passo 3
Bom... Já temos o vetor diretor da reta, né? A gente pega o que estiver na frente do parâmetro:
E pro vetor normal ao plano a gente pode só pegar o que estiver na frente das variáveis:
Fazendo o produto interno:
Então descartamos a possibilidade da reta ser transversal ao plano.
Vamos, então, pegar um ponto qualquer da reta. Pode ser quando :
Ficamos com o ponto Substituindo-o na equação do plano:
Então ele não pertence ao plano.
Passo 4
Só sobrou a última possibilidade, né? E a que dá mais trabalho hahaha
Vamos usar o mesmo ponto do passo 3, só porque já calculamos, mas poderia ser qualquer outro.
Sendo a equação do plano e Usando a fórmula pra calcular a distância:
Tirando o módulo:
Ufaaa... Acabamos essa, mas desanima não. Bora pra próxima...