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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Elipse - Ex. 44

Determinar os focos da elipse de equações x = 4 + 3 cos t e y = - 2 + 5 s e n t

Passo 1

Se tivermos uma elipse de equações paramétricas

{[[x = h + c . c o s theta],[y = k + d . sen theta]])

Onde c e d representam os parâmetros a e b , lembrando que a > b .

Sua equação reduzida será

((x - h)^2)/(c ²) + ((y - k)^2)/(d ²) = 1

E aí a partir dessa equação vamos encontrar os focos da elipse ok?

Passo 2

As equações paramétricas da nossa elipse são

{[[x = 4 + 3 . c o s t],[y = - 2 + 5 . sen t]])

Então, sua equação reduzida é

((x - 4)^2)/(3 ²) + ((y - ( - 2 ))^2)/(5 ²) = 1

((x - 4)^2)/(9) + ((y + 2)^2)/(25) = 1

Beleza, temos uma elipse com centro em C = ( 4 , - 2 ) , a = 5 , b = 3 .

Como o valor de a está no denominador de y , a elipse está ao longo do eixo y certo?

Passo 3

Para encontrarmos os focos da elipse, precisamos encontrar o valor de c através da relação

a^2 = b^2 + c ²

5^2 = 3^2 + c ²

c^2 = 25 - 9

c^2 = 16

c = 4

Como a elipse está ao longo do eixo y , seus focos também estarão e vão ser dados por

F = C +- ( 0 , 4 )

F^' = (4 , - 2 + 4) = ( 4 , 2 )

F^(' ') = (4 , - 2 - 4) = ( 4 , - 6 )

Resposta

F^' = ( 4 , 2 )

F^(' ') = ( 4 , - 6 )

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