Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 52c
52. Calcule a distância entre a reta e o plano .
(c)
Passo 1
Fala aii... belezinha??
Nessa questão vamos precisar lembrar que, sendo um vetor diretor da reta e um vetor normal ao plano, então temos duas possibilidades:
- , então é transversal a . Daí temos:
- , que aí temos duas possibilidades dentro dessa possibilidade:
- pertence a , então . Pra verificar isso escolhemos um ponto qualquer da reta e verificamos se ele pertence ao plano.
- é paralela a , aí essa vai ser a mais complicadinha. Vamos precisar escolher um ponto qualquer da reta e calcular a distância desse ponto até o plano com a fórmula:
Então bora lá fazer essa marmota...
Passo 2
Colocando a equação da reta na forma paramétrica:
Ficamos com:
Então é só a gente pegar o que está na frente do parâmetro que a gente tem um vetor diretor da reta:
E para o vetor normal ao plano é só pegar o que está na frente de cada variável:
Passo 3
Fazendo o produto interno:
Bom... já descartamos a possibilidade da reta ser transversal ao plano, né?
Vamos verificar se ela pertence ao planto.
Escolhendo um ponto quando quer da reta. (vamos escolher quando )
E vamos substituir na equação do plano:
Opaaa... Como um ponto da reta pertence ao plano e achamos o produto interno igual a zero, então a reta pertence ao plano. Sendo assim, a distância:
Acabamos essa... Bora mais uma?