Enunciado

Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo que sua distância ao ponto A ( 3 ,   - 2 ) seja igual à metade de sua distância à reta y - 2 = 0 .

Passo 1

Vamos chamar o nosso ponto que se move de P = ( x ,   y )

Usando a fórmula de distância entre pontos, vamos calcular sua distância até o ponto A = ( 3 ,   - 2 ) :

d P ,   A = x - 3 2 + y + 2 2

Belezinha, agora vamos calcular a distância de P até a reta y - 2 = 0 :

d P ,   r = a x + b y + c a 2 + b 2

d P ,   r = 0 x + 1 y - 2 0 2 + 1 2

d P ,   r = | y - 2 |

Passo 2

O enunciado diz pra gente que a distância de P até A deve ser metade da sua distância até a reta r , ou seja:

d P ,   A = d P ,   r 2

Então

x - 3 2 + y + 2 2 = y - 2 2

2 x - 3 2 + y + 2 2 = | y - 2 |

Elevando os dois lados ao quadrado:

4 . ( x - 3 2 + y + 2 2 ) = ( y - 2 ) ²

Desenvolvendo os produtos notáveis:

4 . x 2 - 6 x + 9 + y 2 + 4 y + 4 = y 2 - 4 y + 4

4 . x 2 - 6 x + y 2 + 4 y + 13 = y 2 - 4 y + 4

4 x 2 - 24 x + 4 y 2 + 16 y + 52 = y 2 - 4 y + 4

Por fim, nossa equação é

4 x 2 - 24 x + 3 y 2 + 20 y + 48 = 0

Resposta

4 x 2 - 24 x + 3 y 2 + 20 y + 48 = 0

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