Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 20b
Achar as equações da reta que intercepta as retas e e é perpendicular a ambas.
b) , para t pertencente aos reais.
Passo 1
A partir das equações das retas, podemos inferir que um ponto qualquer da reta 1, pode ser descrito como:
E um ponto qualquer da reta 2, pode ser descrito como:
Passo 2
é o vetor que liga um ponto da reta 1 a um ponto da reta 2, ou seja, indica a interseção entre as retas.
Assim, temos um vetor para a reta desejada.
Passo 3
Para que a reta seja perpendicular a r1 e r2, devemos calcular os valores de s e t que fazem com que o vetor encontrado no passo anterior seja perpendicular aos vetores diretores de r1 e r2. Para isso, os produtos escalares do vetor encontrado com vetores diretores de r1 e r2 devem ser iguais a 0, ou seja:
= 0
Montando um sistema:
Transformando em uma matriz e resolvendo por escalonamento:
Ou seja, s = e t = . Substituindo s e t nas equações:
Como o resultado foi um vetor nulo, ele não pode ser tomado como o vetor diretor da reta desejada. Assim, devemos encontrar o vetor diretor com base no produto vetorial entre os vetores diretor das retas r1 e r2 dadas:
det
Realizando a conta do determinante:
9i + 4j + 2k – 3k -3j -8i
1i + 1j -1k
Ou seja, V = (1, 1, -1) é o vetor diretor da reta desejada. Além disso, vamos tomar as coordenas de encontradas como o ponto inicial da reta. Assim: