Demonstre que as diagonais de um losango são perpendiculares.
Passo 1
Vamos primeiro visualizar o problema, temos um losango tal que:
Dessa forma, por soma de vetores, sabemos que as diagonais do losango são:
Passo 2
Para provarmos que as diagonais e são ortogonais, precisamos mostrar que o produto interno dos dois vetores é 0. Assim:
Pela distributiva:
Reorganizando a conta:
Passo 3
Dado que os vetores estão elevados ao quadrado, podemos dizer que:
Ou seja:
Como podemos conferir pela figura, e são ambos lados do losango, ou seja, possuem o mesmo comprimento, a mesma norma, logo:
Resposta
Como o produto interno dos vetores da diagonal do losango é igual a 0, as diagonais são ortogonais.