Demonstre que as diagonais de um losango são perpendiculares.

Passo 1

Vamos primeiro visualizar o problema, temos um losango tal que:

Dessa forma, por soma de vetores, sabemos que as diagonais do losango são:

A C → =   A B → + A D →

B D → =   A D → - A B →

Passo 2

Para provarmos que as diagonais A C → e B D → são ortogonais, precisamos mostrar que o produto interno dos dois vetores é 0. Assim:

A C → ∙ B D → = ( A B → + A D → ) ∙ ( A D → - A B → )

Pela distributiva:

A C → ∙ B D → = A B → ∙ A D → - A B → ∙ A B → + A D → ∙ A D → - A D → ∙ A B →

Reorganizando a conta:

A C → ∙ B D → = A B → ∙ A D → - A D → ∙ A B → + A D → ∙ A D → - A B → ∙ A B →

A C → ∙ B D → = A D → ∙ A D → - A B → ∙ A B →

A C → ∙ B D → = A D → 2 - A B → 2

Passo 3

Dado que os vetores estão elevados ao quadrado, podemos dizer que:

A D → 2 = A D → 2

A B → 2 = A B → 2

Ou seja:

A C → ∙ B D → =   A D → 2 - A B → 2

Como podemos conferir pela figura, A D → e A B → são ambos lados do losango, ou seja, possuem o mesmo comprimento, a mesma norma, logo:

A D → 2 - A B → 2 = 0

A C → ∙ B D → = 0

Resposta

Como o produto interno dos vetores da diagonal do losango é igual a 0, as diagonais são ortogonais.

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