Enunciado

19. Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por:

d) A 4 ,   - 1 ,   3 e tem a direção de 3 i → - 2 j → ;

Passo 1

Antes de iniciarmos a resolução vamos relembrar rapidamente do que estamos falando quando utilizamos o termo “equações paramétricas”, tudo bem? Essas equações, assim como discutido no capítulo em questão do Winterle, são equações que representam uma reta qualquer utilizando uma mesma incógnita (geralmente chamada de t ) que recebe o nome de parâmetro. Esse termo t cria nada mais, nada menos do que uma ligação entre as equações paramétricas, galera! Show!

Dado um ponto qualquer do tipo x ,   y ,   z , através da equação vetorial da reta conseguimos extrair que:

x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t a ,   b ,   c

Onde as equações paramétricas da reta são:

x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t

E essa é a ideia que vamos aplicar para resolver nossa questão! Como já temos o ponto A , então basta que consigamos determinar o vetor direção relacionado ao parâmetro t , ou seja:

a ,   b ,   c

Então bora que bora!

Passo 2

A questão diz que a reta passa pelo ponto A e tem direção de 3 i → - 2 j → . Sendo assim, nosso vetor direção pode ser escrito da seguinte forma:

v → = 3 ,   - 2 ,   0

Agora que encontramos nosso vetor direção, basta utilizarmos a relação que discutimos no passo 1 . Como nosso ponto é A 4 ,   - 1 ,   3 , então:

x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t a ,   b ,   c

x ,   y ,   z = 4 ,   - 1 ,   3 + t 3 ,   - 2 ,   0

Logo, nossas equações paramétricas serão:

x = 4 + 3 t y = - 1 - 2 t z = 3

Passo 3

Agora que encontramos as equações paramétricas, se representarmos graficamente a reta que passa por A 4 ,   - 1 ,   3 e tem direção 3 i → - 2 j → , teremos algo assim ó:

No qual o vetor direção é o que está embaixo, enquanto o vetor maior que passa por A é justamente a reta que queríamos esboçar! O eixo em vermelho é x , o eixo em verde é y e o eixo em azul é z . Vale ressaltar também que como estamos em 3 dimensões, então precisamos ter uma noção de perspectiva bem afiada, tudo bem? Massa!

E está aí nossa resolução, galera!

Resposta

Equações Paramétricas: x = 4 + 3 t y = - 1 - 2 t z = 3

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(a)Escreva equações da reta paralela à reta x = 2 + λ y = - 1 + 3 λ z = - λ e que corta 0 x no ponto de abscissa 3. (b) Determine a interseção da reta encontrada com o plano z 0 y .
Mostre que, para quaisquer valores de s e t, as retas 2 s + 3 t x + 3 s - 2 t y = 5 s + 4 t passam pelo mesmo ponto. Mostre também que toda reta que passa por esse ponto é representada por uma equação
Determine a e b de modo que as equações x = a t + 1 ,y = b t + 5 sejam uma representação paramétrica da reta y = 2 x + 3 .
Dê exemplo de uma função linear φ ( x , y ) = a x + b y , com a b ≠ 0 , tal que, para cc ' a distância entre as linhas de níveis cec ' de φ seja c ' - c
Qual é o ponto de ordenada 3 na reta paralela a 3 x - 2 y = 2 tirada pelo pontoA = ( 5 , - 1 ) ?