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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 10

Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =   a 0 1   + a 1 T   +     . . .   +   a n T n se p ( t )   =   a 0   +   a 1 t   +   . . .   +   a n t n .

Passo 1

Eaaae galera! Antes de começar as continhas, vamos mostrar como é a matriz com o formato genérico, e vamos chamar ela de A

A n × n = x 11 x 12 ⋯ x 1 j x 21 ⋱ ⋯ x 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x i 1 x i 2 ⋯ x i j

Então, se temos uma matriz A e queremos encontrar o autovalor dela, temos que lembrar lá da definição de valor próprio! E qual seria a definição? Uma matriz A multiplicada por x será igual ao valor próprio vezes o mesmo x

A x = λ x

Passo 2

Já que sabemos a definição, faremos

A x = λ x

A x - λ I x = 0

A - λ I x = 0

E chegamos naquela formulazinha, fazemos o determinante para encontrar a equação característica, beleza? Agora, vamos ampliar esse conceito

A T x = λ T x

A T - λ T I x = 0

A T - λ T I = 0

E que chega na mesma formulazinha conhecida certo?

Então se pegarmos a matriz A e subtrairmos λ I

x 11 x 12 ⋯ x 1 j x 21 ⋱ ⋯ x 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x i 1 x i 2 ⋯ x i j - λ 0 ⋯ 0 0 ⋱ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ = x 11 - λ x 12 ⋯ x 1 j x 21 ⋱ ⋯ x 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x i 1 x i 2 ⋯ x i j - λ

Eai teríamos que fazer o determinante, mas como?

Passo 3

Se tivermos uma matriz A i j definida como uma matriz de ordem inferior a A, por exemplo

Se temos a matriz   A 5 × 5 ,   então será A i j 4 × 4 , se tiver   A 3 × 3 ,   então   A i j 2 × 2   e assim por diante entendeu?

Tá e daí? O que faremos? Se ignorarmos a i-ésima linha e a j-ésima coluna das matrizes, podemos dizer que

a 11 a 12 ⋯ a 1 j a 21 ⋱ ⋯ a 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 a 12 ⋯ a i j = a 11 det ⁡ ( A 11 ) - a 12 det ⁡ A 12 +   .     .     .   + a 1 i det ⁡ A i j  

O que isso quer dizer? Se pegarmos uma matriz aleatória como exemplo

1 2 3 4 7 9 1 3 2 = 1 × 7 9 3 2 - 2 × 4 9 1 2 + 3 × 4 7 1 3

Ficou mais fácil de entender com o exemplo? Basicamente pegamos a primeira linha e multiplicamos por matrizes menores até chegar em um valor de determinante.

Se pegarmos nossa matriz especial

x 11 - λ x 12 ⋯ x 1 j x 21 ⋱ ⋯ x 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x i 1 x i 2 ⋯ x i j - λ

Então o determinante dela será

det ⁡ A n × n = x 11 - λ det ⁡ A 11 - x 12 det ⁡ A 12 +   .       .     .   ± x 1 j  

Certo? Mas como queremos A T a matriz continua sendo de ordem n × n , seus valores mudam, por exemplo

2 - λ 3 1 2 - λ 2 - λ 3 1 2 - λ = 2 - λ × 2 - λ + 3 × 1 ( 2 - λ × 3 + 3 × ( 2 - λ ) 1 × 2 - λ + 2 - λ × 1 1 × 3 + ( 2 - λ × ( 2 - λ )

Assim, quando se aplica o determinante, os termos terão λ , provando o exercício

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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