Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 9

Sejam A e B matrizes triangulares com a mesma diagonal principal ( a i i   =   b j j ,   i =   1 ,   . . . ,   n ) . Prove que: P A ( t )   =   P B ( t )

Passo 1

Eaaae galera! Vamos ver o que significa esse monte de nomenclatura? Bora lá!

a i i   =   b j j ,   i =   1 ,   . . . ,   n :   Isso quer dizer que se trata da diagonal principal, afinal, ela sempre vai ser x 11 ,   x 22 , x 33 ... Esse n no final indica que é uma matriz genérica n × n

P A t =   P B t : Ele tá querendo dizer que a equação A é igual a equação característica B

Antes de começar as continhas, vamos mostrar como é a matriz com o formato triangular superior

x 11 x 12 ⋯ x 1 j 0 x 22 ⋯ x 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j

Essa matriz ela é super especial, possui abaixo da diagonal principal um montão de zero! Então a matriz A e B será

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 j 0 a 22 ⋯ a 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a i j ; B = b 11 b 12 ⋯ b 1 j 0 b 22 ⋯ b 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b i j

Mas como a diagonal principal de ambas são iguais, vamos representar por x, beleza?

A = x 11 a 12 ⋯ a 1 j 0 x 22 ⋯ a 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j ; B = x 11 b 12 ⋯ b 1 j 0 x 22 ⋯ b 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j

E por fim vamos lembrar da formulazinha para descobrir os valores próprios e a equação característica.

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Passo 2

O I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1         e   I t = t 0 ⋯ 0 0 t ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ t

Agora vamos subtrair a Matriz A

x 11 a 12 ⋯ a 1 j 0 x 22 ⋯ a 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j - t 0 ⋯ 0 0 t ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ t = x 11 - t a 12 ⋯ a 1 j 0 x 22 - t ⋯ a 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j - t

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante!!

x 11 - t a 12 ⋯ a 1 j 0 x 22 - t ⋯ a 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j - t

É fácil de encontrar o determinante dessa matriz triangular superior! Por quê? Porque o determinante da matriz os números da diagonal principal multiplicados entre si

x 11 - t x 22 - t … x i j - t

Uhuul! Encontramos o polinômio característico! Lembrando que é necessário que i seja igual a j para acontecer por se tratar da diagonal principal

Passo 3

Agora, vamos para a matriz B!

x 11 b 12 ⋯ b 1 j 0 x 22 ⋯ b 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j - t 0 ⋯ 0 0 t ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ t = x 11 - t b 12 ⋯ b 1 j 0 x 22 - t ⋯ b 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j - t

Aplicando o determinante

x 11 - t b 12 ⋯ b 1 j 0 x 22 - t ⋯ b 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j - t

Lembrando que B também é uma matriz triangular superior, então só multiplicamos a diagonal que será

x 11 - t x 22 - t … x i j - t

Opa! Percebeu que a equação de A é igual de B? Prontinho, provamos que P A t =   P B t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Achar os valores e os vetores próprios do operador T do R 2 dado por:c. T ( 1 ,0 )=( 0 ,- 1 )eT ( 0 ,1 )=( 1 ,0 )
Determinar valores e vetores próprios do operador T do R 4 cuja matriz em relação à base canônica é: 3 1 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3
Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes: 2 0 1 1 .- 1 - 1 - 3 1 .2 1 0 1e- 1 - 3 - 1 1
Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do R 2 dado por b)T 1 ,0 ,0 = ( 0 ,0 ,0 ) , T ( 0 ,1 ,0 ) = ( 0 ,0 ,0 )eT ( 0 ,0 ,1 )=( 5 ,- 1 ,2 ) .
Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do R 2 dado por T 1 ,0 ,0 = 2 ,0 ,0 , T 0 ,1 ,0 = 2 ,1 ,2eT ( 0 ,0 ,1 ) = ( 3 ,2 ,1 ) ;